Determine os raios de convergência das séries dadas nos Exercs. 8 a 16 .
sumn=0^infty an z^n, onde an=n^2 se n é primo e an=0 se n nāo é primo.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an=n^2 se n é primo e an=0 caso contrário. O conteúdo é raio de convergência de séries de potências e vamos usar a fórmula do limsup das raízes de an.

Passo 2

Para séries sum an z^n, o raio de convergência R é dado por R=1limsupntoinfty|an|^1/n

Passo 3

Aqui só os n primos importam, pois para outros an=0 e não afetam o limsup. Se p é primo, temos |ap|^1/p=(p^2)^1/p=p^2/p

Passo 4

Para ptoinfty, usamos p^2/p=expl(tfrac2ln ppr) e como tfracln ppto0, segue que p^2/pto1. Portanto limsupntoinfty|an|^1/n=1.

Resposta

1

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