Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de
quando
Passo 2
A função exponencial
é contínua em todo
, logo
quando
. Assim o denominador
vai para
, que é diferente de zero. Isso garante que não há indeterminação do tipo “divisão por zero” perto do ponto.
Passo 3
Como o denominador tende a 2, podemos escrever heurísticamente
e observar que
quando
. Para dar mais rigores, note que
$$\bigl|F(x,y)\bigr|=\frac{|xy|}{1+e^{x-y}}\le |xy|,
$$
pois
. E usando a desigualdade de AM-GM em
ou a relação
, temos
$$|xy|\le\frac{x2+y2}{2}\to0\quadquando(x,y)\to(0,0).
$$
Logo
.
Passo 4
Concluímos que o limite existe e é zero.
Resposta
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