Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
F(x, y)=x y1+e^x-y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de
F(x,y)=xy1+e^x-y
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar propriedades de continuidade e estimativas para mostrar a existência do limite.

Passo 2

A função exponencial e^x-y é contínua em todo R^2, logo e^x-yto e^0=1 quando (x,y)to(0,0). Assim o denominador
1+e^x-y
vai para 1+1=2, que é diferente de zero. Isso garante que não há indeterminação do tipo “divisão por zero” perto do ponto.

Passo 3

Como o denominador tende a 2, podemos escrever heurísticamente
F(x,y)approxxy2
e observar que xyto0 quando (x,y)to(0,0). Para dar mais rigores, note que
$$\bigl|F(x,y)\bigr|=\frac{|xy|}{1+e^{x-y}}\le |xy|,
$$
pois l|F(x,y)r|=|xy|1+e^x-y<= |xy|, . E usando a desigualdade de AM-GM em 1+e^x-y>=1 ou a relação |xy|, temos
$$|xy|\le\frac{x2+y2}{2}\to0\quadquando(x,y)\to(0,0).
$$
Logo |xy|<= (x^2+y^2)/2.

Passo 4

Concluímos que o limite existe e é zero.

Resposta

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