Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente. em potências de .
Passo 1
Nesse exercício, queremos expandir a função em série de potências centrada em . Para isso, vamos usar a mudança de variável , aplicar o binômio generalizado para expoente negativo e depois determinar o disco de convergência.
Passo 2
Definimos . Assim, e podemos reescrever
Passo 3
Fatoramos isolando :
Passo 4
Aplicamos a série binomial generalizada para expoente :
Passo 5
No nosso caso, , então substituindo na expressão de obtemos:
Passo 6
Para achar o disco de convergência, usamos a condição de convergência do binômio , ou seja,
Passo 7
Graficamente, isso corresponde ao disco no plano complexo de centro em -2 e raio 2.
Resposta
A expansão em série de potências de f(z)=1/z^3 em torno de z=-2 é: