Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
f(z)=1 / z^3 em potências de z+2.

Passo 1

Nesse exercício, queremos expandir a função f(z)=1/z^3 em série de potências centrada em z=-2. Para isso, vamos usar a mudança de variável w=z+2, aplicar o binômio generalizado para expoente negativo e depois determinar o disco de convergência.

Passo 2

Definimos w=z+2. Assim, z=w-2 e podemos reescrever
f(z)=1z^3=1(w-2)^3

Passo 3

Fatoramos (w-2)^-3 isolando -2:
(w-2)^-3=(-2)^-3l(1-w2r)^-3=-18l(1-w2r)^-3

Passo 4

Aplicamos a série binomial generalizada para expoente -3:
l(1-tr)^-3=sumn=0^inftybinomn+22,t^n

Passo 5

No nosso caso, t=w2, então substituindo na expressão de f(z) obtemos:
f(z)=-18sumn=0^inftybinomn+22l(w2r)^n = -sumn=0^infty(n+1)(n+2)2^n+4,(z+2)^n

Passo 6

Para achar o disco de convergência, usamos a condição de convergência do binômio |t|<1, ou seja,
l|w2r|<1 Longrightarrow |z+2|<2

Passo 7

Graficamente, isso corresponde ao disco no plano complexo de centro em -2 e raio 2.

Resposta

A expansão em série de potências de f(z)=1/z^3 em torno de z=-2 é:
f(z)=-18sumn=0^inftybinomn+22l(z+22r)^n =-sumn=0^infty(n+1)(n+2)2^n+4,(z+2)^n
O disco de convergência é dado por |z+2|<2, isto é, o disco de centro -2 e raio 2 no plano complexo.

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