Determine as raízes complexas
-ésimas de
:
;
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos. Temos que encontrar as raízes complexas
-ésimas de
com:
O que o problema pede: achar todos os números complexos
tais que
.
Dados relevantes listados:
A resolução se desenvolve a seguir.
Passo 2
Calcular o módulo de
. Vou lembrar a fórmula do módulo: para um número complexo
, o módulo é
Aqui
e
. Assim
Portanto o módulo de
é
. (Isto significa que no plano complexo o ponto correspondente a
está à distância
da origem.)
Passo 3
Calcular o argumento (ângulo) de
. Para
, a tangente do argumento
satisfaz
Aqui
. Como
e
, o ponto está no quadrante IV, logo o ângulo principal é
(ou equivalentemente
para
). Vou trabalhar com
.
Passo 4
Apresentar a fórmula geral para as raízes
-ésimas e explicar cada termo. Se escrevemos
onde
e
é um argumento de
, então todo
tal que
pode ser escrito como
com as condições obtidas ao elevar ao expoente
:
Daí
Essas são as raízes
-ésimas; para obter todas as distintas usamos
.
Explicando as variáveis: é o módulo de
,
é um argumento de
,
é o módulo da raiz (a raiz
-ésima de
) e
é o argumento da raiz.
Explicando as variáveis:
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso
. Já temos
e
. Assim
e os argumentos das duas raízes (usar
) são
Portanto as raízes em forma trigonométrica são
Passo 6
Converter para a forma algébrica (a+b i) e verificar uma das raízes por quadratura trigonométrica. Primeiro use as identidades trigonométricas conhecidas:
Para
temos
Para
o argumento é
. Usando
obtemos
Verificação rápida (usando forma trigonométrica): se
então
o que confirma que
é raiz. A outra raiz é o seu simétrico oposto (multiplicado por
) e também funciona.