Determine as raízes complexas n-ésimas de z :
n=2, z=1-\sqrt{3} i;

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos. Temos que encontrar as raízes complexas n-ésimas de z com:
n=2,\qquad z=1-\sqrt{3}\,i.
O que o problema pede: achar todos os números complexos w tais que w^{2}=z.
Dados relevantes listados:
\text{(i) } n=2;\qquad \text{(ii) } z=1-\sqrt{3}\,i.
A resolução se desenvolve a seguir.

Passo 2

Calcular o módulo de z. Vou lembrar a fórmula do módulo: para um número complexo \,x+iy, o módulo é
|x+iy|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=1 e y=-\sqrt{3}. Assim
|z|=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Portanto o módulo de z é |z|=2. (Isto significa que no plano complexo o ponto correspondente a z está à distância 2 da origem.)

Passo 3

Calcular o argumento (ângulo) de z. Para z=x+iy, a tangente do argumento \theta satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x}.
Aqui \tan\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}. Como x=1>0 e y=-\sqrt{3}<0, o ponto está no quadrante IV, logo o ângulo principal é
\theta=-\frac{\pi}{3}
(ou equivalentemente \theta=-\tfrac{\pi}{3}+2m\pi para m\in\mathbb{Z}). Vou trabalhar com \theta=-\tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Apresentar a fórmula geral para as raízes n-ésimas e explicar cada termo. Se escrevemos
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr),
onde r=|z| e \theta é um argumento de z, então todo w tal que w^{n}=z pode ser escrito como
w=\rho\bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr),
com as condições obtidas ao elevar ao expoente n:
\rho^{n}=r,\qquad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Daí
\rho=r^{1/n},\qquad \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}.
Essas são as raízes n-ésimas; para obter todas as distintas usamos k=0,1,\dots,n-1.
Explicando as variáveis: r é o módulo de z, \theta é um argumento de z, \rho é o módulo da raiz (a raiz n-ésima de r) e \varphi é o argumento da raiz.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso n=2. Já temos r=2 e \theta=-\dfrac{\pi}{3}. Assim
\rho=r^{1/2}=\sqrt{2},
e os argumentos das duas raízes (usar k=0,1) são
\varphi_{k}=\frac{\theta+2k\pi}{2}=\frac{-\frac{\pi}{3}+2k\pi}{2}=-\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k=0,1.
Portanto as raízes em forma trigonométrica são
w_{k}=\sqrt{2}\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}+k\pi\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}+k\pi\bigr)\Bigr),\qquad k=0,1.

Passo 6

Converter para a forma algébrica (a+b i) e verificar uma das raízes por quadratura trigonométrica. Primeiro use as identidades trigonométricas conhecidas:
\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\frac{1}{2}.
Para k=0 temos
w_{0}=\sqrt{2}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr)=\frac{\sqrt{6}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}.
Para k=1 o argumento é -\tfrac{\pi}{6}+\pi=\tfrac{5\pi}{6}. Usando
\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=\frac{1}{2},
obtemos
w_{1}=\sqrt{2}\Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\Bigr)=-\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.
Verificação rápida (usando forma trigonométrica): se w=\sqrt{2}\,\mathrm{cis}\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) então
w^{2}=2\,\mathrm{cis}\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)\Bigr) =2\Bigl(\tfrac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=1-\sqrt{3}\,i,
o que confirma que w_{0} é raiz. A outra raiz é o seu simétrico oposto (multiplicado por -1) e também funciona.

Resposta

\dfrac{\sqrt{6}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}
-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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