Determine os números reais
e
para que a propriedade abaixo se verifique:
(a)
;
(b)
seja um número complexo não real;
(c)
seja um número real.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os números reais
e
que satisfazem três propriedades (cada uma aparentemente independente). Vou listar o que cada item dá e o que pede:
(a) É dada a igualdade
Deve-se achar os
que tornam essa igualdade verdadeira.
(b) É dado o número complexo
e o pedido é que ele seja um número complexo não real (ou seja, tenha parte imaginária diferente de zero). Devemos achar as condições sobre
e
para isso.
(c) É dado o número complexo
e o pedido é que ele seja um número real (ou seja, tenha parte imaginária igual a zero). Devemos achar as condições sobre
e
para isso.
Passo 2
Rápida revisão: um número complexo genérico é escrito como
, onde
é a parte real (
) e
é a parte imaginária (
). Duas regras úteis:
-
Duas expressões complexas são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Por exemplo,
implica e . -
Um número complexo é real exatamente quando sua parte imaginária é zero. Ou seja,
é real se . Ele é não real se .
Vou usar essas ideias para separar parte real e imaginária e obter equações em
e
.
Passo 3
Resolvendo o item (a). Escrevemos a igualdade dada e igualamos partes real e imaginária com a direita
, que é
.
A parte real da igualdade é
e a parte imaginária é
Passo 4
Resolver a parte imaginária do (a):
Esses valores não são zero (ou seja,
).
Agora usar a parte real
. Como
(porque
), necessariamente
Portanto, as soluções do item (a) são
Passo 5
Verificação rápida do (a) (importante na prova): para
e
substituímos na expressão
pois
. Está confirmado.
Passo 6
Agora o item (b). A expressão é
Para que seja um número complexo não real, a condição é que a parte imaginária seja diferente de zero, isto é
Passo 7
Analisar a desigualdade do (b). Um produto de dois fatores é diferente de zero exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Logo as condições equivalentes são
Escrevendo de forma mais explícita:
Qualquer par
que satisfaça essas duas desigualdades faz com que a parte imaginária seja não nula, logo o número seja não real.
Passo 8
Agora o item (c). A expressão é
Para que seja real, a parte imaginária deve ser zero:
Passo 9
Resolver a equação do item (c). O produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Isso dá duas alternativas:
-
. Aqui pode ser qualquer número real. -
. Aqui pode ser qualquer número real.
Portanto o conjunto de soluções é a união dessas alternativas: todos os pares
tais que
(qualquer
) ou
(qualquer
).
Passo 10
Observações finais e exemplos rápidos de checagem:
-
No (b), se
então o fator e a parte imaginária seria zero, tornando o número real — por isso excluímos . Se então e novamente a parte imaginária seria zero — por isso excluímos . -
No (c), por exemplo, se
e então e a parte imaginária é zero, logo o número é real. Se e então e também a parte imaginária é zero.
Resposta
(a)
(b) Todas as duplas tais que
e
(c) Todas as duplas tais que
(qualquer
) ou
(qualquer
).
(b) Todas as duplas
(c) Todas as duplas