Determine os números reais a e b para que a propriedade abaixo se verifique:
(a) (a-2) \cdot b+\left(b^{2}-1\right) i=i;
(b) \left(a^{2}-4\right)+(a-2)\left(b^{2}-1\right) i seja um número complexo não real;
(c) \left(b^{2}-4\right)+\left(a^{2}-1\right)(b+2) i seja um número real.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números reais a e b que satisfazem três propriedades (cada uma aparentemente independente). Vou listar o que cada item dá e o que pede:
(a) É dada a igualdade
(a-2)\cdot b+\left(b^{2}-1\right)i = i.
Deve-se achar os a,b\in\mathbb{R} que tornam essa igualdade verdadeira.
(b) É dado o número complexo
\left(a^{2}-4\right)+(a-2)\left(b^{2}-1\right)i
e o pedido é que ele seja um número complexo não real (ou seja, tenha parte imaginária diferente de zero). Devemos achar as condições sobre a e b para isso.
(c) É dado o número complexo
\left(b^{2}-4\right)+\left(a^{2}-1\right)(b+2)i
e o pedido é que ele seja um número real (ou seja, tenha parte imaginária igual a zero). Devemos achar as condições sobre a e b para isso.

Passo 2

Rápida revisão: um número complexo genérico é escrito como \,x+yi, onde \,x é a parte real ( \Re) e \,y é a parte imaginária ( \Im). Duas regras úteis:
  1. Duas expressões complexas são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Por exemplo, (3+2i)=(x+yi) implica x=3 e y=2.
  2. Um número complexo é real exatamente quando sua parte imaginária é zero. Ou seja, x+yi é real se \,y=0. Ele é não real se \,y\neq 0.
Vou usar essas ideias para separar parte real e imaginária e obter equações em a e b.

Passo 3

Resolvendo o item (a). Escrevemos a igualdade dada e igualamos partes real e imaginária com a direita i, que é 0+1\cdot i.
A parte real da igualdade é
(a-2)\,b = 0,
e a parte imaginária é
b^{2}-1 = 1.

Passo 4

Resolver a parte imaginária do (a):
b^{2}-1 = 1 \implies b^{2} = 2 \implies b = \pm\sqrt{2}.
Esses valores não são zero (ou seja, b\neq 0).
Agora usar a parte real (a-2)b=0. Como b\neq 0 (porque b=\pm\sqrt{2}), necessariamente
a-2 = 0 \implies a = 2.
Portanto, as soluções do item (a) são
a=2,\qquad b=\pm\sqrt{2}.

Passo 5

Verificação rápida do (a) (importante na prova): para a=2 e b=\pm\sqrt{2} substituímos na expressão
(a-2)b+(b^{2}-1)i = 0\cdot b + (\,2-1)i = i,
pois b^{2}=2. Está confirmado.

Passo 6

Agora o item (b). A expressão é
\left(a^{2}-4\right)+(a-2)\left(b^{2}-1\right)i.
Para que seja um número complexo não real, a condição é que a parte imaginária seja diferente de zero, isto é
(a-2)\left(b^{2}-1\right) \neq 0.

Passo 7

Analisar a desigualdade do (b). Um produto de dois fatores é diferente de zero exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Logo as condições equivalentes são
a-2 \neq 0 \quad\text{e}\quad b^{2}-1 \neq 0.
Escrevendo de forma mais explícita:
a \neq 2 \quad\text{e}\quad b \neq \pm 1.
Qualquer par (a,b)\in\mathbb{R}^2 que satisfaça essas duas desigualdades faz com que a parte imaginária seja não nula, logo o número seja não real.

Passo 8

Agora o item (c). A expressão é
\left(b^{2}-4\right)+\left(a^{2}-1\right)(b+2)i.
Para que seja real, a parte imaginária deve ser zero:
\left(a^{2}-1\right)(b+2) = 0.

Passo 9

Resolver a equação do item (c). O produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Isso dá duas alternativas:
  1. a^{2}-1 = 0 \implies a = \pm 1. Aqui b pode ser qualquer número real.
  2. b+2 = 0 \implies b = -2. Aqui a pode ser qualquer número real.
Portanto o conjunto de soluções é a união dessas alternativas: todos os pares (a,b) tais que a=\pm 1 (qualquer b) ou b=-2 (qualquer a).

Passo 10

Observações finais e exemplos rápidos de checagem:
  • No (b), se a=2 então o fator (a-2)=0 e a parte imaginária seria zero, tornando o número real — por isso excluímos a=2. Se b=\pm1 então b^{2}-1=0 e novamente a parte imaginária seria zero — por isso excluímos b=\pm1.
  • No (c), por exemplo, se a=1 e b=5 então (a^{2}-1)=0 e a parte imaginária é zero, logo o número é real. Se a=7 e b=-2 então (b+2)=0 e também a parte imaginária é zero.

Resposta

(a) a=2,\; b=\pm\sqrt{2}.
(b) Todas as duplas (a,b) tais que a\neq 2 e b\neq \pm 1.
(c) Todas as duplas (a,b) tais que a=\pm 1 (qualquer b) ou b=-2 (qualquer a).

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