Determine as raízes complexas n-ésimas de z :
n=4, z=3;

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes complexas n-ésimas de z quando n=4 e z=3.
Informações dadas:
  • n=4.
  • z=3 (número real positivo).
    Objetivo explícito: encontrar todos os complexos w tais que \,w^{4}=3.

Passo 2

Vamos escrever z em forma polar (magnitude e argumento). Para qualquer complexo z escrevemos z = r e^{i\theta}, onde:
r = |z|
é o módulo (distância ao zero) e
\theta = \arg(z)
é o argumento (ângulo a partir do eixo real positivo), lembrando que \theta é definido modulo 2\pi (ou seja, podemos acrescentar 2\pi m, com m\in\mathbb{Z}).
No nosso caso:
r = |3| = 3
e, como 3 é positivo e real, um argumento conveniente é
\theta = 0 + 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
Portanto podemos escrever
z = 3 e^{i(0+2\pi m)}.

Passo 3

Agora a ferramenta principal: a fórmula para as n-ésimas raízes complexas. Se z = r e^{i\theta} e queremos w tais que w^{n}=z, então as soluções são
w_k = r^{1/n} e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicação didática: a operação de elevar ao n-ésimo poder multiplica o argumento por n e eleva o módulo à potência n. Para inverter isso (achar raízes) tomamos a raiz n-ésima do módulo e dividimos o argumento por n. Como o argumento é periódico de período 2\pi, ao somarmos 2\pi k antes de dividir obtemos todas as soluções distintas com k=0,\dots,n-1. Isso dá exatamente n raízes distintas igualmente espaçadas no círculo de raio r^{1/n}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=4, r=3 e \theta=0:
\rho := r^{1/4} = 3^{1/4}
e os argumentos das raízes são
\phi_k = \frac{\theta+2\pi k}{4} = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2},\qquad k=0,1,2,3.
Logo as raízes são
w_k = 3^{1/4} e^{i\pi k/2},\qquad k=0,1,2,3.
Posso também escrever em forma trigonométrica:
w_k = 3^{1/4}\big(\cos(\tfrac{\pi k}{2}) + i\sin(\tfrac{\pi k}{2})\big).

Passo 5

Agora avaliamos os cossenos e senos para cada k e escrevemos as formas retangulares (mais fáceis de usar na prova):
  • Para k=0:
\phi_0 = 0,\quad \cos 0 = 1,\\ \sin 0 = 0,
w_0 = 3^{1/4}\cdot(1+ i\cdot 0)=3^{1/4}.
  • Para k=1:
\phi_1 = \tfrac{\pi}{2},\quad \cos(\tfrac{\pi}{2}) = 0,\\ \sin(\tfrac{\pi}{2}) = 1,
w_1 = 3^{1/4}\cdot(0 + i\cdot 1)=3^{1/4}\,i.
  • Para k=2:
\phi_2 = \pi,\quad \cos\pi = -1,\\ \sin\pi = 0,
w_2 = 3^{1/4}\cdot(-1 + i\cdot 0)=-3^{1/4}.
  • Para k=3:
\phi_3 = \tfrac{3\pi}{2},\quad \cos(\tfrac{3\pi}{2}) = 0,\\ \sin(\tfrac{3\pi}{2}) = -1,
w_3 = 3^{1/4}\cdot(0 + i\cdot (-1))=-3^{1/4}\,i.
Observação intuitiva: as quatro raízes estão nos pontos cardeais do círculo de raio 3^{1/4} no plano complexo (ângulos 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}), isto é, nos eixos real e imaginário positivos e negativos.

Passo 6

Reunindo todas as soluções e escrevendo de forma clara, as quatro raízes complexas quarta-ésimas de 3 são:
3^{1/4},\quad 3^{1/4}\,i,\quad -3^{1/4},\quad -3^{1/4}\,i.

Resposta

3^{1/4}
3^{1/4}\,i
-3^{1/4}
-3^{1/4}\,i

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