Determine as raízes complexas
-ésimas de
:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes complexas
-ésimas de
quando
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
(número real positivo).
Objetivo explícito: encontrar todos os complexostais que .
Passo 2
Vamos escrever
em forma polar (magnitude e argumento). Para qualquer complexo
escrevemos
, onde:
é o módulo (distância ao zero) e
é o argumento (ângulo a partir do eixo real positivo), lembrando que
é definido modulo
(ou seja, podemos acrescentar
, com
).
No nosso caso:
No nosso caso:
e, como
é positivo e real, um argumento conveniente é
Portanto podemos escrever
Passo 3
Agora a ferramenta principal: a fórmula para as
-ésimas raízes complexas. Se
e queremos
tais que
, então as soluções são
Explicação didática: a operação de elevar ao
-ésimo poder multiplica o argumento por
e eleva o módulo à potência
. Para inverter isso (achar raízes) tomamos a raiz
-ésima do módulo e dividimos o argumento por
. Como o argumento é periódico de período
, ao somarmos
antes de dividir obtemos todas as soluções distintas com
. Isso dá exatamente
raízes distintas igualmente espaçadas no círculo de raio
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
,
e
:
e os argumentos das raízes são
Logo as raízes são
Posso também escrever em forma trigonométrica:
Passo 5
Agora avaliamos os cossenos e senos para cada
e escrevemos as formas retangulares (mais fáceis de usar na prova):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação intuitiva: as quatro raízes estão nos pontos cardeais do círculo de raio
no plano complexo (ângulos
), isto é, nos eixos real e imaginário positivos e negativos.
Passo 6
Reunindo todas as soluções e escrevendo de forma clara, as quatro raízes complexas quarta-ésimas de
são: