Determine as raízes da equação x^{3}+x^{2}-4 x+6=0.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache as raízes de
x^{3} + x^{2} - 4x + 6 = 0.
O conteúdo é teoria de polinômios de grau 3: vamos primeiro usar o teste de raízes racionais para encontrar uma raiz inteira e depois dividir o polinômio para reduzir ao caso de uma equação quadrática, que será resolvida com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pel o teste de raízes racionais, as únicas candidatas inteiras são os divisores de 6, ou seja \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Calculando rapidamente:
f(-3)=(-3)^{3}+(-3)^{2}-4(-3)+6=-27+9+12+6=0,
logo \,x=-3 é raiz.

Passo 3

Para extrair a raiz \,x=-3, fazemos divisão sintética do polinômio original pelos coeficientes 1,1,-4,6 usando o divisor -3:
\begin{array}{c|rrrr} -3 & 1 & 1 & -4 & 6\\hline & & -3 & 6 & -6\\\ & 1 & -2 & 2 & 0 \end{array}
O resto é zero e o quociente é o polinômio x^{2}-2x+2.

Passo 4

Agora resolvemos
x^{2}-2x+2=0
pela fórmula:
x = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} = 1\pm i.

Resposta

-3, 1+i e 1-i

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