Verifique que:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede para verificar que
- A função envolvida é
definida para todos os pares com ; quando e a expressão vale ; quando e vale . - Devemos calcular duas limites iterados: primeiro fazendo
com fixo e depois ; e a outra ordem trocada.
Passo 2
Conceito prático usado: “limite iterado”
significa que, para cada valor fixo de
, primeiro calcula-se
(em que
é tratado como constante), obtém-se uma nova função de
e então toma-se o limite dessa função quando
.
Passo 3
Calcular a primeira expressão: [\displaystyle \lim_{x\to0}!\left(\lim_{y\to0} \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}}\right)).
- Para um
fixo e diferente de zero ( ), ao fazer temos Aqui a operação é simplesmente substituir no denominador, porque é fixo e não zero. - Para
fixo, para a expressão é , logo - Assim a função resultante do limite interno é
- Agora calculamos
próximo de
porém diferente de temos , os valores ao aproximar-se de pela esquerda ou direita são sempre . Portanto ]
Passo 4
Resumo do primeiro iterado: concluímos que
Passo 5
Calcular a segunda expressão: [\displaystyle \lim_{y\to0}!\left(\lim_{x\to0} \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}}\right)).
- Para um
fixo diferente de zero ( ), ao fazer o numerador tende a e o denominador tende a , então - Para
fixo, ao fazer a expressão é para , logo - Assim a função resultante do limite interno é
- Agora calculamos
próximo de
porém diferente de temos , portanto os valores ao aproximar-se de são . Logo ]
Passo 6
Resumo do segundo iterado: concluímos que
Passo 7
Interpretação e observação extra (ajuda a entender por que ocorre a diferença):
- Os dois limites iterados deram valores distintos:
e . Portanto realmente - Uma maneira intuitiva de ver que a função não tem um limite duplo único em
é aproximar por diferentes curvas: por exemplo, ao longo da reta tem-se que tende a quando . Como esse valor ( ) é diferente de e de , o limite de quando não existe — por isso a ordem dos limites importa.
Passo 8
Palavras finais de incentivo: é comum essas diferenças aparecerem quando a função é sensível à maneira de aproximar a origem. Sempre que suspeitar que iterados podem dar valores diferentes, calcule os limites internos como fizemos e, se quiser confirmar, tente aproximar por linhas ou curvas (como
) para ver valores distintos.