Verifique que: \lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{y \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) \neq \lim _{y \rightarrow 0}\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede para verificar que
    \displaystyle \lim_{x \to 0}\!\left(\lim_{y \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) \neq \displaystyle \lim_{y \to 0}\!\left(\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).
  • A função envolvida é f(x,y)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} definida para todos os pares (x,y) com (x,y)\neq(0,0); quando x=0 e y\neq0 a expressão vale 0; quando y=0 e x\neq0 vale 1.
  • Devemos calcular duas limites iterados: primeiro fazendo y\to0 com x fixo e depois x\to0; e a outra ordem trocada.

Passo 2

Conceito prático usado: “limite iterado” \displaystyle \lim_{x\to0}\big(\lim_{y\to0} f(x,y)\big) significa que, para cada valor fixo de x, primeiro calcula-se \lim_{y\to0} f(x,y) (em que x é tratado como constante), obtém-se uma nova função de x e então toma-se o limite dessa função quando x\to0.

Passo 3

Calcular a primeira expressão: [\displaystyle \lim_{x\to0}!\left(\lim_{y\to0} \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}}\right)).
  • Para um x fixo e diferente de zero ( x\neq0), ao fazer y\to0 temos \lim_{y\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+0} = 1.Aqui a operação é simplesmente substituir y=0 no denominador, porque x^{2} é fixo e não zero.
  • Para x=0 fixo, para y\neq0 a expressão é \dfrac{0}{0+y^{2}}=0, logo \lim_{y\to0} \frac{0^{2}}{0^{2}+y^{2}} = 0.
  • Assim a função resultante do limite interno é g(x)=\begin{cases} 1, & x\neq 0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
  • Agora calculamos \lim_{x\to0} g(x)\]. Como para todo \(x próximo de 0 porém diferente de 0 temos g(x)=1, os valores g(x) ao aproximar-se de 0 pela esquerda ou direita são sempre 1. Portanto \lim_{x\to0} g(x) = 1.]

Passo 4

Resumo do primeiro iterado: concluímos que
\displaystyle \lim_{x\to0}\!\left(\lim_{y\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)=1.

Passo 5

Calcular a segunda expressão: [\displaystyle \lim_{y\to0}!\left(\lim_{x\to0} \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}}\right)).
  • Para um y fixo diferente de zero ( y\neq0), ao fazer x\to0 o numerador tende a 0 e o denominador tende a y^{2}\neq0, então \lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 0.
  • Para y=0 fixo, ao fazer x\to0 a expressão é \dfrac{x^{2}}{x^{2}+0}=1 para x\neq0, logo \lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+0} = 1.
  • Assim a função resultante do limite interno é h(y)=\begin{cases} 0, & y\neq 0,\\[4pt] 1, & y=0. \end{cases}
  • Agora calculamos \lim_{y\to0} h(y)\]. Para todo \(y próximo de 0 porém diferente de 0 temos h(y)=0, portanto os valores ao aproximar-se de 0 são 0. Logo \lim_{y\to0} h(y) = 0.]

Passo 6

Resumo do segundo iterado: concluímos que
\displaystyle \lim_{y\to0}\!\left(\lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)=0.

Passo 7

Interpretação e observação extra (ajuda a entender por que ocorre a diferença):
  • Os dois limites iterados deram valores distintos: 1 e 0. Portanto realmente \displaystyle \lim_{x\to0}\!\left(\lim_{y\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) \neq \displaystyle \lim_{y\to0}\!\left(\lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).
  • Uma maneira intuitiva de ver que a função não tem um limite duplo único em (0,0) é aproximar (0,0) por diferentes curvas: por exemplo, ao longo da reta y=x tem-se \frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2},que tende a \tfrac{1}{2} quando x\to0. Como esse valor ( \tfrac{1}{2}) é diferente de 0 e de 1, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe — por isso a ordem dos limites importa.

Passo 8

Palavras finais de incentivo: é comum essas diferenças aparecerem quando a função é sensível à maneira de aproximar a origem. Sempre que suspeitar que iterados podem dar valores diferentes, calcule os limites internos como fizemos e, se quiser confirmar, tente aproximar por linhas ou curvas (como y=mx) para ver valores distintos.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0}\!\left(\lim_{y\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)=1
\displaystyle \lim_{y\to0}\!\left(\lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)=0

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