Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=4 x^{3}+20 x^{2}-23 x+6

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio cúbico
f(x) = 4x^{3} + 20x^{2} - 23x + 6
e pede as raízes racionais e, sempre que possível, a fatoração em fatores lineares. Para isso vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, divisão sintética e, depois, resolver o polinômio de grau 2 que surgir.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, todo candidato a raiz racional tem a forma \pm \frac{p}{q}, em que p divide o termo independente 6 e q divide o coeficiente líder 4. Assim, as possibilidades são
\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm6,\;\pm\tfrac12,\;\pm\tfrac14,\;\pm\tfrac32,\;\pm\tfrac34.

Passo 3

Vamos testar \displaystyle x=\tfrac12. Calculando
f\bigl(\tfrac12\bigr) =4\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}+20\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-23\bigl(\tfrac12\bigr)+6 =4\cdot\tfrac18+20\cdot\tfrac14-23\cdot\tfrac12+6 =0,
logo x=\tfrac12 é raiz de f(x).

Passo 4

Aplicamos divisão sintética de f(x) por x-\tfrac12. Colocando os coeficientes \{4,\;20,\;-23,\;6\} e usando 1/2, obtemos o polinômio quadratíco resultante
4x^{2}+22x-12.

Passo 5

Resolvemos a equação
4x^{2}+22x-12=0.
Dividindo por 2, vem
2x^{2}+11x-6=0,
cujos coeficientes dão discriminante
\Delta = 11^{2}-4\cdot2\cdot(-6)=121+48=169 =13^{2}.
Assim as raízes são
x = \frac{-11\pm13}{4} \;\longrightarrow\; x = \frac{2}{4}=\tfrac12 \quad\text{e}\quad x = \frac{-24}{4}=-6.

Passo 6

Concluímos que as raízes racionais de f(x) são
x = \tfrac12\quad(\text{dupla})\quad\text{e}\quad x=-6.
Logo a fatoração completa em fatores lineares é
f(x) = 4\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}(x+6).
Observando que
4\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} = \bigl(2x-1\bigr)^{2},
podemos escrever também
f(x) = (2x-1)^{2}(x+6).

Resposta

As raízes racionais são x=\tfrac12 (com multiplicidade 2) e x=-6.
A fatoração em fatores lineares é
f(x) = (2x-1)^{2}(x+6).

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