Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=3 x^{3}-5 x^{2}+2 x-8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes racionais de
f(x)=3x^{3}-5x^{2}+2x-8
e, sempre que possível, escrever f(x) como produto de fatores lineares. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais e divisão sintética para reduzir o grau do polinômio.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, quaisquer raízes racionais de f(x) são da forma
\pm\frac{d}{c},
onde d divide o termo constante -8 e c divide o coeficiente líder 3. Assim, os candidatos são
\pm1,\;\pm2,\;\pm4,\;\pm8,\;\pm\frac{1}{3},\;\pm\frac{2}{3},\;\pm\frac{4}{3},\;\pm\frac{8}{3}.

Passo 3

Testamos alguns valores inteiros simples. Para x=2:
f(2)=3\cdot2^{3}-5\cdot2^{2}+2\cdot2-8 =24-20+4-8=0.
Logo, x=2 é raiz de f(x).

Passo 4

Dividimos f(x) por (x-2) usando divisão sintética:
coeficientes de f: 3,\;-5,\;2,\;-8
– trazemos o 3.
– multiplicamos 3 por 2 e somamos a -5: obtém-se 1.
– multiplicamos 1 por 2 e somamos a 2: obtém-se 4.
– multiplicamos 4 por 2 e somamos a -8: obtém-se 0.
O quociente é 3x^{2}+x+4. Assim,
f(x)=(x-2)\bigl(3x^{2}+x+4\bigr).

Passo 5

Verificamos se 3x^{2}+x+4 tem raízes racionais. O discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot3\cdot4 = 1-48 = -47 < 0,
portanto não há raízes reais nem racionais nesse fator. Logo não é possível fatorar mais em fatores lineares de coeficientes racionais.

Resposta

A única raiz racional de f(x) é x=2. E a fatoração sobre os racionais é
f(x)=(x-2)\bigl(3x^{2}+x+4\bigr).

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