Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=x^{3}-28 x-48

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes racionais de f(x)=x^{3}-28x-48
e, sempre que possível, escrever f(x) como produto de fatores lineares.
Conteúdo envolvido: Teorema das raízes racionais e divisão de polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema das raízes racionais, qualquer raiz racional \tfrac{p}{q} satisfaz que p divide o termo constante -48 e q divide o coeficiente líder 1.
Logo, os candidatos a raiz são
\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm16,\pm24,\pm48.

Passo 3

Testamos alguns valores até achar um zero de f. Por exemplo,
f(6)=6^3-28\cdot6-48=216-168-48=0,
logo x=6 é raiz de f.

Passo 4

Para encontrar as outras raízes, dividimos f(x) por (x-6). Usando divisão sintética com os coeficientes 1,0,-28,-48, obtemos o quociente
x^2+6x+8.
Em seguida, resolvemos
x^2+6x+8=0.
As raízes dessa equação são
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot8}}{2} =\frac{-6\pm2}{2},
isto é, x=-2 e x=-4.

Resposta

As raízes racionais são 6, -2 e -4.
O polinômio fatorado em fatores lineares fica
f(x)=(x-6)(x+2)(x+4).

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