Determine a razão entre as populações dos estados v=0, v=1 e v=2 para CO a 25^{\circ} \mathrm{C} considerando que \omega_{\mathrm{e}}=2169,52 \mathrm{~cm}^{-1}. ( 2,0 pontos)
\text { Resposta: } \frac{N(v=1)}{N(v=0)}=2,84 \times 10^{-5} .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a razão entre as populações dos estados \,v=0,\;v=1 e \,v=2 para o monóxido de carbono (CO) à temperatura 25^\circ\mathrm{C}. As informações fornecidas são:
  • Temperatura: \,25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
  • Constante vibracional: \,\omega_{\mathrm{e}}=2169,52\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    O objetivo final é obter as razões do tipo \dfrac{N(v=1)}{N(v=0)} e \dfrac{N(v=2)}{N(v=0)} (ou a proporção N(0):N(1):N(2)).

Passo 2

Vamos apresentar a ferramenta física/matemática que liga energia das vibrações e populações: a distribuição de Boltzmann. Ela diz que, em equilíbrio térmico, a população relativa entre dois níveis de energia é
\frac{N_i}{N_j}=\frac{g_i}{g_j}\exp\!\bigg(-\frac{E_i-E_j}{kT}\bigg),
onde:
  • N_i é a população do nível i;
  • g_i é a degenerescência (número de estados com a mesma energia) do nível i;
  • E_i é a energia do nível i;
  • k é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Para níveis vibracionais aproximados por um oscilador harmônico, a energia do nível vibracional v é
E_v = h c \tilde{\nu}\Big(v+\tfrac{1}{2}\Big),
onde:
  • h é a constante de Planck;
  • c é a velocidade da luz;
  • \tilde{\nu}=\omega_{\mathrm{e}} é o número de onda vibracional (aqui dado em \mathrm{cm^{-1}});
  • v é o número quântico vibracional ( v=0,1,2,\dots).
A diferença entre E_v e E_0 é simples:
E_v-E_0 = h c \tilde{\nu}\,v.
A degenerescência vibracional é g_v=1 (cada nível vibracional não é degenerado em energia por orientação, no modelo simples), então a razão desejada fica
\frac{N(v)}{N(0)}=\exp\!\bigg(-\frac{v\,h c \tilde{\nu}}{kT}\bigg).
Observação importante sobre unidades: \tilde{\nu} está em \mathrm{cm^{-1}}. Para calcular energia em joules usamos \tilde{\nu} em \mathrm{m^{-1}}, portanto multiplicamos por 100 (pois 1\\ \mathrm{cm^{-1}}=100\\ \mathrm{m^{-1}}). Outra forma prática é usar diretamente h c em \mathrm{J\cdot m} e \tilde{\nu} em \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

Agora vamos calcular numericamente os termos necessários. Primeiro listar constantes (valores recomendados):
\begin{aligned} h&=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\\[4pt] c&=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}},\\[4pt] k&=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}},\\[4pt] T&=298{,}15\\ \mathrm{K},\\[4pt] \tilde{\nu}&=2169{,}52\\ \mathrm{cm^{-1}}=2169{,}52\times100\\ \mathrm{m^{-1}}=216952\\ \mathrm{m^{-1}}. \end{aligned}
Calcular h c (energia·comprimento):
h c = (6{,}62607015\times10^{-34})\,(2{,}99792458\times10^{8}) =1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Energia de um quantum vibracional ( v\to v+1):
\Delta E \equiv h c \tilde{\nu}=(1{,}98644586\times10^{-25})\,(216952) \approx 4{,}3095\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Energia térmica kT:
kT=(1{,}380649\times10^{-23})\,(298{,}15)\approx 4{,}116415\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Razão adimensional que aparece no exponencial:
\beta\equiv\frac{h c \tilde{\nu}}{kT} \approx \frac{4{,}3095\times10^{-20}}{4{,}116415\times10^{-21}}\approx 10{,}470.]

Passo 4

Usar a fórmula da distribuição de Boltzmann para v=1 e v=2:
\frac{N(v=1)}{N(v=0)}=\exp\!\big(-\beta\big)=\exp\!\big(-10{,}470\big).
Calcular numericamente:
\frac{N(1)}{N(0)}\approx 2{,}84\times10^{-5}.
Para v=2:
\frac{N(2)}{N(0)}=\exp\!\big(-2\beta\big)=\big(\exp(-\beta)\big)^{2} \approx(2{,}84\times10^{-5})^{2}\approx 8{,}07\times10^{-10}.
Interpretação curta e motivadora: isso significa que, à temperatura ambiente, quase toda a população vibracional está no nível fundamental v=0; os níveis v=1 e v=2 têm populações muito pequenas, dadas pelos fatores exponenciais calculados.

Resposta

\dfrac{N(v=1)}{N(v=0)}=2{,}84\times10^{-5}
\dfrac{N(v=2)}{N(v=0)}=8{,}07\times10^{-10}

Exercícios relacionados