Determine a razão entre as populações dos estados
e
para CO a
considerando que
. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a razão entre as populações dos estados
e
para o monóxido de carbono (CO) à temperatura
. As informações fornecidas são:
- Temperatura:
. - Constante vibracional:
.
O objetivo final é obter as razões do tipoe (ou a proporção ).
Passo 2
Vamos apresentar a ferramenta física/matemática que liga energia das vibrações e populações: a distribuição de Boltzmann. Ela diz que, em equilíbrio térmico, a população relativa entre dois níveis de energia é
onde:
-
é a população do nível ; -
é a degenerescência (número de estados com a mesma energia) do nível ; -
é a energia do nível ; -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura absoluta (em K).
Para níveis vibracionais aproximados por um oscilador harmônico, a energia do nível vibracional
é
onde:
-
é a constante de Planck; -
é a velocidade da luz; -
é o número de onda vibracional (aqui dado em ); -
é o número quântico vibracional ( ).
A diferença entre
e
é simples:
A degenerescência vibracional é
(cada nível vibracional não é degenerado em energia por orientação, no modelo simples), então a razão desejada fica
Observação importante sobre unidades:
está em
. Para calcular energia em joules usamos
em
, portanto multiplicamos por
(pois
). Outra forma prática é usar diretamente
em
e
em
.
Passo 3
Agora vamos calcular numericamente os termos necessários. Primeiro listar constantes (valores recomendados):
Calcular
(energia·comprimento):
Energia de um quantum vibracional (
):
Energia térmica
:
Razão adimensional que aparece no exponencial:
Passo 4
Usar a fórmula da distribuição de Boltzmann para
e
:
Calcular numericamente:
Para
:
Interpretação curta e motivadora: isso significa que, à temperatura ambiente, quase toda a população vibracional está no nível fundamental
; os níveis
e
têm populações muito pequenas, dadas pelos fatores exponenciais calculados.