Calcule o valor do último estado vibracional acessível de { }^{12} \mathrm{C}^{16} \mathrm{O} antes da dissociação. (1 ponto)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados vou usar.
  • O enunciado pede: calcular o valor do último estado vibracional acessível (ou seja, o maior número quântico vibracional v) do dímero {}^{12}\mathrm{C}^{16}\mathrm{O} antes da dissociação.
  • O enunciado não dá constantes, então vou usar constantes espectroscópicas experimentais conhecidas para {}^{12}\mathrm{C}^{16}\mathrm{O}. Peguei estes valores em tabelas espectroscópicas padrão (Herzberg / bases de dados espectroscópicas):
    • constante vibracional fundamental \omega_e = 2169{,}813\\ \text{cm}^{-1},
    • termo de anarmonicidade \omega_e x_e = 13{,}288\\ \text{cm}^{-1}.
  • Observação: essas constantes significam (explicando sem jargão):
    • \omega_e dá a frequência vibracional básica (convertida para energia em \text{cm}^{-1});
    • \omega_e x_e mede quanto a vibração afasta-se do oscilador harmônico (anátema: a anarmonicidade).
  • A estratégia: usar a fórmula de níveis vibracionais com correção anarmônica e deduzir qual é o maior v para o qual o nível ainda está abaixo da energia de dissociação.

Passo 2

Fórmula dos níveis vibracionais (modelo harmônico anarmônico) e significado das variáveis.
  • Para muitas moléculas diatômicas, os níveis vibracionais na aproximação de primeira ordem de anarmonicidade são dados por
E_v = \omega_e\left(v+\tfrac{1}{2}\right) - \omega_e x_e\left(v+\tfrac{1}{2}\right)^2,
onde:
  • E_v é a energia do nível vibracional v, em \text{cm}^{-1} (unidade espectroscópica comum);
  • v é o número quântico vibracional inteiro: v=0,1,2,\dots;
  • \omega_e e \omega_e x_e já definidos acima.
  • A dissociação ocorre quando a energia do nível atinge a energia de dissociação \,D_e. Assim, o último nível ligado v_{\max} é o maior inteiro v tal que E_v < D_e.
  • Uma observação prática e muito útil: a função quadrática em y\equiv v+\tfrac{1}{2}
E(y)=\omega_e y - \omega_e x_e y^2
é um paraboloide aberto para baixo com máximo em
y_{\text{max}}=\frac{1}{2x_e},
e o valor máximo dessa parabola é
E_{\text{max}}=\frac{\omega_e}{4x_e}.
Se a forma anarmônica de segundo grau for uma boa aproximação até a dissociação, então \,D_e fica próximo de E_{\text{max}} e o último v possível é aproximadamente
v_{\max}\approx y_{\text{max}}-\tfrac{1}{2}=\frac{1}{2x_e}-\tfrac{1}{2}.
Essa fórmula é a aproximação clássica usada em provas: ela dá o número aproximado de níveis vibracionais ligados (com precisão suficiente para estimativa do v_{\max}).

Passo 3

Calcular x_e a partir das constantes usadas.
  • Defino x_e pela relação
x_e=\frac{\omega_e x_e}{\omega_e}.
  • Substituindo os valores que peguei:
x_e=\frac{13{,}288}{2169{,}813}.
  • Agora faço a divisão (aproximação numérica suficiente para a prova):
x_e \approx 0{,}00613\quad(\text{adimensional}).

Passo 4

Aplicar a fórmula aproximada para v_{\max}.
  • Usando
v_{\max}\approx\frac{1}{2x_e}-\tfrac{1}{2},
substituo x_e\approx0{,}00613:
v_{\max}\approx\frac{1}{2\cdot 0{,}00613}-\tfrac{1}{2} =\frac{1}{0{,}01226}-\tfrac{1}{2}.
  • Calculando:
\frac{1}{0{,}01226}\approx81{,}6,
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v_{\max}\approx81{,}6-\tfrac{1}{2}\approx81{,}1.
  • Como v é inteiro, o último nível vibracional acessível (o maior v inteiro tal que E_v<D_e) é o piso desse valor, isto é
v_{\max}=81.

Passo 5

Checagem rápida (intuitiva) e interpretação final.
  • A estimativa dá v_{\max}\approx81{,}1, portanto o último nível inteiro é v=81. Isso significa que existem níveis vibracionais v=0,1,\dots,81 ligados (no total 82 níveis vibracionais) antes da dissociação, segundo a aproximação harmônico-anarmônica de primeira ordem.
  • Observação prática: usar o valor exato de D_e experimental e resolver a equação quadrática
\omega_e\left(v+\tfrac{1}{2}\right)-\omega_e x_e\left(v+\tfrac{1}{2}\right)^2=D_e
daria um ajuste numérico ligeiramente diferente, mas o valor inteiro do último nível normalmente permanece v_{\max}=81 para {}^{12}\mathrm{C}^{16}\mathrm{O} com as constantes espectroscópicas usadas.

Resposta

v_{\max}=81

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