Calcule o valor do último estado vibracional acessível de
antes da dissociação. (1 ponto)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados vou usar.
- O enunciado pede: calcular o valor do último estado vibracional acessível (ou seja, o maior número quântico vibracional
) do dímero antes da dissociação. - O enunciado não dá constantes, então vou usar constantes espectroscópicas experimentais conhecidas para
. Peguei estes valores em tabelas espectroscópicas padrão (Herzberg / bases de dados espectroscópicas): - constante vibracional fundamental
, - termo de anarmonicidade
.
- constante vibracional fundamental
- Observação: essas constantes significam (explicando sem jargão):
-
dá a frequência vibracional básica (convertida para energia em ); -
mede quanto a vibração afasta-se do oscilador harmônico (anátema: a anarmonicidade).
-
- A estratégia: usar a fórmula de níveis vibracionais com correção anarmônica e deduzir qual é o maior
para o qual o nível ainda está abaixo da energia de dissociação.
Passo 2
Fórmula dos níveis vibracionais (modelo harmônico anarmônico) e significado das variáveis.
- Para muitas moléculas diatômicas, os níveis vibracionais na aproximação de primeira ordem de anarmonicidade são dados por
onde:
-
é a energia do nível vibracional , em (unidade espectroscópica comum); -
é o número quântico vibracional inteiro: ; -
e já definidos acima. - A dissociação ocorre quando a energia do nível atinge a energia de dissociação
. Assim, o último nível ligado é o maior inteiro tal que . - Uma observação prática e muito útil: a função quadrática em
é um paraboloide aberto para baixo com máximo em
e o valor máximo dessa parabola é
Se a forma anarmônica de segundo grau for uma boa aproximação até a dissociação, então
fica próximo de
e o último
possível é aproximadamente
Essa fórmula é a aproximação clássica usada em provas: ela dá o número aproximado de níveis vibracionais ligados (com precisão suficiente para estimativa do
).
Passo 3
Calcular
a partir das constantes usadas.
- Defino
pela relação
- Substituindo os valores que peguei:
- Agora faço a divisão (aproximação numérica suficiente para a prova):
Passo 4
Aplicar a fórmula aproximada para
.
- Usando
substituo
:
- Calculando:
logo
- Como
é inteiro, o último nível vibracional acessível (o maior inteiro tal que ) é o piso desse valor, isto é
Passo 5
Checagem rápida (intuitiva) e interpretação final.
- A estimativa dá
, portanto o último nível inteiro é . Isso significa que existem níveis vibracionais ligados (no total 82 níveis vibracionais) antes da dissociação, segundo a aproximação harmônico-anarmônica de primeira ordem. - Observação prática: usar o valor exato de
experimental e resolver a equação quadrática
daria um ajuste numérico ligeiramente diferente, mas o valor inteiro do último nível normalmente permanece
para
com as constantes espectroscópicas usadas.