Determine as reações nos apoios A (pino) e B (rolete inclinado a 30^{\circ} ). Indique o sentido das reações. Use as equações de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as reações nos apoios A (pino) e B (rolete apoiado numa rampa inclinada a 30^\circ). Indicar o sentido das reações.\n
Dados fornecidos que vamos usar:
  • Viga horizontal com comprimento total 8\\ \text{m}, com A em x=0 e B em x=8\\ \text{m}.
  • Carga concentrada vertical para baixo de 4\\ \text{kN} localizada a 6\\ \text{m} de A (ou seja em x=6\\ \text{m}).
  • Apoio em A: pino que fornece duas reações A_x (horizontal) e A_y (vertical).
  • Apoio em B: rolete sobre uma rampa inclinada a 30^\circ. O rolete fornece apenas uma reação B perpendicular à superfície da rampa (ou seja normal à rampa).
  • Sistema está em equilíbrio estático e devemos usar as equações de equilíbrio estático planas: soma das forças horizontais igual a zero, soma das forças verticais igual a zero, soma dos momentos (num ponto escolhido) igual a zero.

Passo 2

Entender a direção da reação em B. A rampa está inclinada 30^\circ acima da horizontal (para a direita). A reação de um rolete é normal à superfície, portanto a força B forma com o eixo x (horizontal positivo para a direita) um ângulo de
\theta_B = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ.
Vamos decompor B em componentes horizontais e verticais (sistema de eixos: +x para a direita, +y para cima):
B_x = B\cos(120^\circ)= -B\cos(60^\circ) = -\tfrac{1}{2}B,
B_y = B\sin(120^\circ)= B\sin(60^\circ)= \tfrac{\sqrt{3}}{2}B.
Observação: B_x será negativo (aponta para a esquerda) e B_y positivo (para cima).

Passo 3

Escrever as equações de equilíbrio estático para a viga inteira (forças no plano):
  1. Soma das forças horizontais igual a zero:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad A_x + B_x = 0.
  1. Soma das forças verticais igual a zero:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y + B_y - 4{,}0 = 0.
Aqui usamos a carga vertical 4{,}0\\ \text{kN} para baixo.

Passo 4

Escolher a equação de momento mais conveniente para eliminar incógnitas. Tomamos momentos em relação ao ponto A (isso elimina A_x e A_y das equações porque passam por A), usando sinal convencional: momento positivo no sentido anti-horário. As únicas forças que produzem momento em torno de A são a carga 4{,}0\\ \text{kN} (em x=6\\ \text{m}) e a componente vertical de B (em x=8\\ \text{m}). A componente horizontal B_x tem linha de ação ao longo da viga (mesmo nível) e, portanto, seu braço perpendicular em relação a A é zero (não produz momento acerca de A). Logo:
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad -4{,}0\cdot 6 + B_y\cdot 8 = 0.
(Nota: o termo -4{,}0\cdot 6 é negativo porque a força de 4{,}0\\ \text{kN} para baixo tende a girar no sentido horário em torno de A.)

Passo 5

Resolver a equação de momentos para B_y:
-4{,}0\cdot 6 + B_y\cdot 8 = 0
B_y\cdot 8 = 24
B_y = \frac{24}{8} = 3{,}0\\ \text{kN}.
Portanto a componente vertical da reação em B vale 3{,}0\\ \text{kN} para cima.

Passo 6

Determinar a intensidade B da reação no rolete usando a relação entre B e B_y:
B_y = \tfrac{\sqrt{3}}{2}B = 3{,}0.
Isolando B:
B = \frac{3{,}0}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = 3{,}0\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\\ \text{kN}.
Agora a componente horizontal de B:
B_x = -\tfrac{1}{2}B = -\tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}\\ \text{kN}.
O sinal negativo indica que B_x aponta para a esquerda, como esperado.

Passo 7

Determinar as reações em A a partir das equações de equilíbrio das forças:
Da soma das forças horizontais,
A_x + B_x = 0 \quad\Rightarrow\quad A_x = -B_x = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}\\ \text{kN}.
Ou seja, A_x aponta para a direita com magnitude \sqrt{3}\\ \text{kN}.
Da soma das forças verticais,
A_y + B_y - 4{,}0 = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y = 4{,}0 - B_y = 4{,}0 - 3{,}0 = 1{,}0\\ \text{kN}.
Ou seja, A_y aponta para cima com magnitude 1{,}0\\ \text{kN}.

Passo 8

Resumo das direções (interpretação física):
  • A_x = \sqrt{3}\\ \text{kN} atua para a direita.
  • A_y = 1{,}0\\ \text{kN} atua para cima.
  • B tem intensidade 2\sqrt{3}\\ \text{kN} e atua normal à rampa inclinada ( 30^\circ acima da horizontal à direita), isto é, sua direção é apontando para cima e para a esquerda formando 120^\circ com o eixo +x. Suas componentes são B_x = -\sqrt{3}\\ \text{kN} (esquerda) e B_y = 3{,}0\\ \text{kN} (para cima).

Resposta

A_x=\sqrt{3}\\ \text{kN} (para a direita)\n
A_y=1{,}0\\ \text{kN} (para cima)\n
B=2\sqrt{3}\\ \text{kN} (normal à rampa, apontando para cima e para a esquerda; B_x=-\sqrt{3}\\ \text{kN},\;B_y=3{,}0\\ \text{kN}).

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