Determine as reações nos apoios A (rolete) e B (pino). Indique o sentido das reações. Use as equações de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá uma viga de comprimento total 6\\ \text{m} apoiada em A (rolete, só reação vertical) e B (pino, reação vertical e horizontal). A viga tem uma carga distribuída vertical dependendo de x:
  • no trecho de x=0 a x=3\\ \text{m} a intensidade varia linearmente de 900\\ \text{N/m} (em A) até 600\\ \text{N/m} (no meio), ou seja, é uma linha inclinada;
  • no trecho de x=3 a x=6\\ \text{m} a intensidade é uniforme e igual a 600\\ \text{N/m}.
    As distâncias: A em x=0, B em x=6\\ \text{m}.
    O que se pede: determinar as reações nos apoios A e B e indicar o sentido (orientação) dessas reações, usando as equações de equilíbrio.

Passo 2

Planejamento do método (curtinho e direto para a prova):
  • Substituímos cada carga distribuída por sua resultante (força equivalente) e sua posição (centroide). Fórmula geral: a resultante R de w(x) no intervalo [a,b] é \displaystyle R=\int_{a}^{b} w(x)\,dx e a abscissa do centroide é \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{R}\int_{a}^{b} x\,w(x)\,dx.
  • Depois aplicamos as equações de equilíbrio da viga isostática: \sum F_y=0 e \sum M=0. Como não há cargas horizontais, a reação horizontal no pino será zero.
    Observação prática: para o trecho linear (de 900 até 600) pode-se usar a média das intensidades (trapézio) para achar rapidamente a resultante: R=\text{(média)}\times\text{comprimento}é.

Passo 3

Calcular a resultante do trecho esquerdo 0\le x\le 3:
  • intensidade como função de x: \displaystyle w(x)=900-100x (porque decresce 300 em 3\\ \text{m}, logo declive 100\\ \text{N/m}^2).
  • resultante
R_1=\int_{0}^{3} (900-100x)\,dx = \bigl[900x-50x^2\bigr]_{0}^{3} =2700-450=2250\\ \text{N}.
(Dica rápida: média (900+600)/2=750\\ \text{N/m}, R_1=750\cdot3=2250\\ \text{N}.)
  • posição (centroide) medida a partir de A:
\bar{x}_1=\frac{1}{R_1}\int_{0}^{3} x(900-100x)\,dx =\frac{1}{2250}\bigl[450x^2-\tfrac{100}{3}x^3\bigr]_{0}^{3} =\frac{3150}{2250}=1{,}4\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a resultante do trecho direito 3\le x\le 6 (uniforme 600\\ \text{N/m}):
  • resultante
R_2=600\cdot 3=1800\\ \text{N}.
  • posição medida a partir de A: esse trecho vai de x=3 a x=6, centro no meio do trecho,
\bar{x}_2=3+ \tfrac{3}{2}=4{,}5\\ \text{m}.

Passo 5

Resumo das cargas equivalentes:
  • R_1=2250\\ \text{N} atuando para baixo em \bar{x}_1=1{,}4\\ \text{m} de A.
  • R_2=1800\\ \text{N} atuando para baixo em \bar{x}_2=4{,}5\\ \text{m} de A.
  • carga resultante total para baixo: R=R_1+R_2=2250+1800=4050\\ \text{N}.

Passo 6

Equilíbrios para encontrar as reações verticais A_y (em A) e B_y (em B). Adoto sinais positivos para reações para cima.
  • Equilíbrio vertical:
A_y + B_y - (R_1+R_2)=0 \quad\Rightarrow\quad A_y + B_y = 4050.
  • Equilíbrio de momentos em relação a A (somando momentos positivos no sentido anti-horário); as forças para baixo produzem momentos que tendem a girar no sentido horário (negativo), a reação em B cria momento positivo:
\sum M_A=0 \quad\Rightarrow\quad -R_1\bar{x}_1 - R_2\bar{x}_2 + B_y\cdot 6 = 0.
Substituindo números:
B_y\cdot 6 = R_1\bar{x}_1 + R_2\bar{x}_2 = 2250\cdot 1{,}4 + 1800\cdot 4{,}5.
Calcule cada termo:
2250\cdot 1{,}4 = 3150\\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad 1800\cdot 4{,}5=8100\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Soma:
B_y\cdot 6 = 3150+8100=11250\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Logo
B_y=\frac{11250}{6}=1875\\ \text{N}.

Passo 7

Determinar A_y usando \sum F_y=0:
A_y = 4050 - B_y = 4050 - 1875 = 2175\\ \text{N}.

Passo 8

Verificação rápida (controle): momento em relação a B:
A_y\cdot 6 = R_1(6-\bar{x}_1)+R_2(6-\bar{x}_2).
Calcule RHS:
R_1(6-1{,}4)=2250\cdot 4{,}6=10350,\qquad R_2(6-4{,}5)=1800\cdot 1{,}5=2700,
soma 10350+2700=13050. LHS A_y\cdot 6=2175\cdot 6=13050. OK: confirma consistência.

Passo 9

Sentidos das reações:
  • A_y é positiva para cima ( 2175\\ \text{N} para cima no apoio A).
  • B_y é positiva para cima ( 1875\\ \text{N} para cima no apoio B).
  • Reação horizontal no pino B é 0 (não há cargas horizontais).

Resposta

A_y=2175\\ \text{N} (para cima)
B_y=1875\\ \text{N} (para cima)
H_B=0\\ \text{N}

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