Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de aço inoxidável com comprimento de referência de \mathbf{5 0 m m} sofre uma deformação de \mathbf{9 , 5 6} \cdot \mathbf{1 0}{ }^{-\mathbf{3}} \mathbf{m m} / \mathbf{m m} quando a tensão é de 650 MPa . Considerando que a Tensão Limite de Proporcionalidade seja de \sigma_{p}=385 M P a, com uma deformação de \varepsilon_{p}=\mathbf{1 , 8 8} \cdot \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathbf{m m} / \mathbf{m m}, determine:
a. (1,0ponto). A Distância Total entre os pontos de referência enquanto o corpo de prova está fixo na máquina de ensaios;
b. (2,0ponto). A Distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) A distância total entre os pontos de referência enquanto o corpo de prova está fixo na máquina de ensaios (isto é, comprimento sob carga).
  • (b) A distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada (isto é, comprimento residual após descarga).
Dados fornecidos:
\,L_0 = 50\\ \text{mm} (comprimento de referência),
\,\varepsilon_{\text{total}} = 9{,}56\cdot10^{-3}\\ \text{mm/mm} (deformação medida quando \sigma = 650\\ \text{MPa}),
\,\sigma_{\text{aplicada}} = 650\\ \text{MPa},
\,\sigma_p = 385\\ \text{MPa} (tensão limite de proporcionalidade),
\,\varepsilon_p = 1{,}88\cdot10^{-3}\\ \text{mm/mm} (deformação correspondente ao limite de proporcionalidade).
Observação: os dados acima são os únicos que usaremos; tudo que for calculado a partir deles será mostrado passo a passo.

Passo 2

Entendendo o que é necessário calcular — conceitos básicos e fórmulas:
  • Deformação (engenharia) \varepsilon é definida como a variação relativa de comprimento:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},
onde \Delta L é a variação do comprimento e L_0 é o comprimento inicial. Assim, para encontrar a variação de comprimento basta multiplicar:
\Delta L = L_0\cdot\varepsilon.
  • O comprimento sob carga (enquanto a peça está na máquina) é
L_{\text{sob carga}} = L_0 + \Delta L_{\text{total}}.
Aqui \Delta L_{\text{total}} = L_0\cdot\varepsilon_{\text{total}}.
Vamos aplicar isso imediatamente para a parte (a).

Passo 3

Cálculo da variação de comprimento sob carga e do comprimento sob carga (parte a):
  • Primeiro a variação total de comprimento:
\Delta L_{\text{total}} = L_0\cdot\varepsilon_{\text{total}} = 50\cdot\left(9{,}56\cdot10^{-3}\right)\\ \text{mm}.
Calculemos:
\Delta L_{\text{total}} = 50\cdot 0{,}00956 = 0{,}478\\ \text{mm}.
  • Logo o comprimento enquanto está na máquina é
L_{\text{sob carga}} = L_0 + \Delta L_{\text{total}} = 50 + 0{,}478 = 50{,}478\\ \text{mm}.

Passo 4

Agora precisamos do comprimento após alívio da carga (parte b). Para isso é essencial distinguir deformação elástica e plástica:
  • Até o limite de proporcionalidade ( \sigma_p) a deformação é elástica e recupera-se totalmente quando a carga é removida.
  • Acima de \sigma_p aparece deformação plástica permanente que não é recuperada ao descarregar.
  • Assim, ao descarregar, o alongamento recuperável é a parte elástica; o que sobra é a deformação plástica permanente.
Para separar as partes usamos o módulo de elasticidade E (Lei de Hooke na região linear):
\sigma = E\varepsilon \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\sigma_p}{\varepsilon_p},
usando os valores no limite de proporcionalidade (porque ali a relação é linear).
Calculemos E.

Passo 5

Cálculo do módulo de elasticidade E:
E = \frac{\sigma_p}{\varepsilon_p} = \frac{385\\ \text{MPa}}{1{,}88\cdot10^{-3}}.
Façamos a conta:
E = \frac{385}{0{,}00188}\\ \text{MPa} \approx 204\,787{,}234\\ \text{MPa}.
(este valor corresponde a aproximadamente 204{,}8\\ \text{GPa}, razoável para um aço inoxidável).

Passo 6

Cálculo da parte elástica da deformação sob a tensão aplicada:
  • A deformação elástica sob a tensão aplicada \sigma_{\text{aplicada}}=650\\ \text{MPa} é
\varepsilon_{\text{el}} = \frac{\sigma_{\text{aplicada}}}{E} = \frac{650}{204\,787{,}234}\\ \approx 3{,}1735\cdot10^{-3}\\ \text{mm/mm}.
(esse é o trecho que será recuperado ao descarregar).
Cálculo da deformação plástica (permanente):
\varepsilon_{\text{pl}} = \varepsilon_{\text{total}} - \varepsilon_{\text{el}} = 9{,}56\cdot10^{-3} - 3{,}1735\cdot10^{-3}.
Façamos a subtração:
\varepsilon_{\text{pl}} \approx 6{,}3865\cdot10^{-3}\\ \text{mm/mm}.

Passo 7

Cálculo da variação de comprimento permanente e do comprimento final após descarga:
  • Variação permanente:
\Delta L_{\text{perm}} = L_0\cdot\varepsilon_{\text{pl}} = 50\cdot 6{,}3865\cdot10^{-3}\\ \text{mm} \approx 0{,}3193\\ \text{mm}.
  • Comprimento final (após alívio da carga):
L_{\text{após descarga}} = L_0 + \Delta L_{\text{perm}} = 50 + 0{,}3193 = 50{,}3193\\ \text{mm}.ó
Resumo numérico final (arredondado sensatamente para três casas decimais onde adequado): já calculado no passo 3 e no passo 7.

Resposta

\,50{,}478\\ \text{mm}
\,50{,}319\\ \text{mm}

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