Determine o real x de modo que o complexo
seja imaginário
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor real de $ x $ que faz com que o número complexo $ z = (13i - 6) + (2x + i) \cdot (3 - 2xi) $ seja imaginário. Ou seja, queremos que a parte real de $ z $ seja zero. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre números complexos e como multiplicá-los. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o número complexo $ z $ ser imaginário. Um número complexo tem a forma $ a + bi $, onde $ a $ é a parte real e $ b $ é a parte imaginária. Se $ z $ for puramente imaginário, então $ a = 0 $. Portanto, nosso objetivo é encontrar $ x $ tal que a parte real de $ z $ seja zero.
Passo 3
Vamos começar expandindo a expressão para $ z $:
Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos dentro dos parênteses:
Para multiplicar, usamos a distributiva:
Calculando cada termo:
Lembrando que $ i^2 = -1 $, então:
Agora, juntamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, substituímos essa resultado de volta na expressão original de $ z $:
Juntamos as partes reais e imaginárias:
Simplificando a parte imaginária:
Passo 5
Queremos que $ z $ seja puramente imaginário, ou seja, a parte real deve ser zero:
Resolvendo para $ x $:
Resposta
O valor de $ x $ que torna $ z $ um número imaginário é $ x = \frac{3}{4} $.