Determine o real x de modo que o complexo z=(13 i-6)+(2 x+i) cdot(3-2 x i) seja imaginário

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor real de $ x $ que faz com que o número complexo $ z = (13i - 6) + (2x + i) \cdot (3 - 2xi) $ seja imaginário. Ou seja, queremos que a parte real de $ z $ seja zero. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre números complexos e como multiplicá-los. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o número complexo $ z $ ser imaginário. Um número complexo tem a forma $ a + bi $, onde $ a $ é a parte real e $ b $ é a parte imaginária. Se $ z $ for puramente imaginário, então $ a = 0 $. Portanto, nosso objetivo é encontrar $ x $ tal que a parte real de $ z $ seja zero.

Passo 3

Vamos começar expandindo a expressão para $ z $:
z
Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos dentro dos parênteses:
z = (13i - 6) + (2x + i) cdot (3 - 2xi)
Para multiplicar, usamos a distributiva:
(2x + i) cdot (3 - 2xi)
Calculando cada termo:
2x cdot 3 + 2x cdot (-2xi) + i cdot 3 + i cdot (-2xi)
Lembrando que $ i^2 = -1 $, então:
6x - 4x^2i + 3i - 2x i^2
Agora, juntamos os termos semelhantes:
i^2 = -1
6x - 4x^2i + 3i + 2x

Passo 4

Agora, substituímos essa resultado de volta na expressão original de $ z $:
z
Juntamos as partes reais e imaginárias:
z = (13i - 6) + (8x + (-4x^2 + 3)i)
(-6 + 8x) + (13i + (-4x^2 + 3)i)
Simplificando a parte imaginária:
(8x - 6) + (13 - 4x^2 + 3)i

Passo 5

Queremos que $ z $ seja puramente imaginário, ou seja, a parte real deve ser zero:
z
Resolvendo para $ x $:
8x - 6 = 0
x

Resposta

O valor de $ x $ que torna $ z $ um número imaginário é $ x = \frac{3}{4} $.

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