Determine o real x de modo que o complexo z=(13 i-6)+(2 x+i) cdot(3-2 x i) seja imaginário puro

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o real x tal que o número complexo z = (13i - 6) + (2x + i) cdot (3 - 2x i) seja imaginário puro, ou seja, tenha parte real zero. Vamos usar operações com números complexos: multiplicação, soma e separação de parte real e imaginária.

Passo 2

Para expandir (2x + i) cdot (3 - 2x i), aplicamos a distributiva:
(2x + i) cdot (3 - 2x i) = 2x cdot 3 + 2x cdot (-2x i) + i cdot 3 + i cdot (-2x i)
Agora calculamos cada termo: 6x, -4x^2 i, 3i e -2x i^2. Como i^2 = -1, o último termo vira +2x. Assim, o produto é:
(2x + i) cdot (3 - 2x i) = (6x + 2x) + i(3 - 4x^2) = 8x + i(3 - 4x^2)

Passo 3

Somamos esse resultado ao termo 13i - 6 para obter z:
z = (8x - 6) + igl((3 - 4x^2) + 13r) = (8x - 6) + i(16 - 4x^2) 

Passo 4

Para que z seja imaginário puro, a parte real deve ser zero. Então impomos:
8x - 6 = 0
Resolvendo, temos x = tfrac68 = tfrac34

Resposta

x = 34

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