Determine a região de continuidade de
. Faça um desenho da mesma:
Passo 1
Neste exercício, queremos achar a região de continuidade da função
. O conteúdo envolve domínio de funções com raiz quadrada e divisão, além de continuidade de funções compostas. Precisamos determinar onde a expressão dentro da raiz é não-negativa e onde o denominador é diferente de zero.
Passo 2
Para que
seja real, precisamos de
. E como há divisão por
, também exigimos
. Portanto o domínio natural de
é
Passo 3
A teoria de continuidade diz que raiz quadrada (no seu domínio), multiplicação, soma e divisão (fora do zero) são todas funções contínuas. Como
é composição dessas operações, ela é contínua em todo o seu domínio
. Logo a região de continuidade de
coincide exatamente com
.
Passo 4
Geometricamente, a condição
significa que ou todas as três coordenadas são não-negativas (primeiro octante) ou exatamente duas são negativas e uma positiva (três octantes opostos). Mas em todos esses pontos devemos excluir o plano diagonal
pois aí o denominador se anula.
Passo 5
No desenho 3D, representamos o sistema de eixos
. Sombreie o primeiro octante (
) e os três octantes em que duas coordenadas são negativas e uma positiva. Trace o plano
e marque-o como excluído da região sombreada. Assim fica claro que a região de continuidade é a união desses quatro ‘cones’ sem o plano
.
Resposta
A região de continuidade é