Determine a região de continuidade de f. Faça um desenho da mesma: f(x, y, z)=raizx y zx+y+z

Passo 1

Neste exercício, queremos achar a região de continuidade da função f(x,y,z)=raizxyzx+y+z. O conteúdo envolve domínio de funções com raiz quadrada e divisão, além de continuidade de funções compostas. Precisamos determinar onde a expressão dentro da raiz é não-negativa e onde o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Para que raizxyz seja real, precisamos de xyz>=0. E como há divisão por x+y+z, também exigimos x+y+zneq0. Portanto o domínio natural de f é
D=(x,y,z)inR^3mid xyz>=0 e x+y+zneq0

Passo 3

A teoria de continuidade diz que raiz quadrada (no seu domínio), multiplicação, soma e divisão (fora do zero) são todas funções contínuas. Como f é composição dessas operações, ela é contínua em todo o seu domínio D. Logo a região de continuidade de f coincide exatamente com D.

Passo 4

Geometricamente, a condição xyz>=0 significa que ou todas as três coordenadas são não-negativas (primeiro octante) ou exatamente duas são negativas e uma positiva (três octantes opostos). Mas em todos esses pontos devemos excluir o plano diagonal
x+y+z=0
pois aí o denominador se anula.

Passo 5

No desenho 3D, representamos o sistema de eixos x,y,z. Sombreie o primeiro octante ( x,y,z>=0) e os três octantes em que duas coordenadas são negativas e uma positiva. Trace o plano x+y+z=0 e marque-o como excluído da região sombreada. Assim fica claro que a região de continuidade é a união desses quatro ‘cones’ sem o plano x+y+z=0.

Resposta

A região de continuidade é
D=(x,y,z)inR^3mid xyz>=0 e x+y+zneq0

Exercícios relacionados