Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita . Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, mais especificamente o Teste da Razão para determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Ele indica o quanto o valor de pode variar para que a série continue convergindo. Já o intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. A fórmula do Teste da Razão é:
Agora, vamos calcular o limite conforme n tende ao infinito:
L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2)
Observando que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, o limite L tende a 0 para qualquer valor finito de x.
Passo 7
De acordo com o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, como L = 0 para todo x, a série converge para todos os valores de x.
Passo 8
Portanto, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é R, ou seja, todos os números reais.
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-infty, infty).