Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita sumn=1^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, mais especificamente o Teste da Razão para determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Ele indica o quanto o valor de x pode variar para que a série continue convergindo. Já o intervalo de convergência é o conjunto de valores de x para os quais a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série quando n tende ao infinito. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 4

Identificando an na nossa série:
an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! = (-1)^n+1 x^2n+3(2n+3)!

Passo 5

Agora, calculamos a razão | an+1an |:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite conforme n tende ao infinito:
L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2)
Observando que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, o limite L tende a 0 para qualquer valor finito de x.

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, como L = 0 para todo x, a série converge para todos os valores de x.

Passo 8

Portanto, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é R, ou seja, todos os números reais.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-infty, infty).

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