O número de raízes reais da equação a seguir (x^2-2 x-13) / 5=(x^2-2 x-7)^1 / 2 é:
c) 2

Passo 1

Estamos resolvendo uma equação que envolve uma parte fracionária e uma raiz quadrada, conteúdo de Equações Irracionais, e vamos precisar usar a definição de domínio para radicais e a técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Precisamos garantir que o radicando seja não negativo. O termo dentro da raiz é x^2 - 2x - 7, então impomos
x^2 - 2x - 7 ,>= 0

Passo 3

Resolvendo a desigualdade associada ao polinômio: as raízes de x^2 - 2x - 7=0 são x = 1 pm raiz8, logo
x <= 1 - raiz8ou x >= 1 + raiz8

Passo 4

Fazemos a substituição y = raizx^2 - 2x - 7, lembrando que y>=0. A equação original
x^2 - 2x -135 = raizx^2 - 2x -7
torna-se, usando x^2 - 2x -13 = (x^2 -2x -7)-6 = y^2 -6,
y^2 - 65 = y

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 5 obtemos a equação polinomial
y^2 - 6 = 5y Longrightarrow y^2 - 5y - 6 = 0

Passo 6

Resolvendo essa equação do 2º grau:
y = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm 72,
temos y1 = 6 e y2 = -1. Como y>=0, descartamos y2 e ficamos com y = 6.

Passo 7

Voltando à definição de y:
raizx^2 - 2x -7 = 6 Longrightarrow x^2 - 2x -7 = 36 Longrightarrow x^2 -2x -43 = 0,
cuja solução é
x = 2 pm raiz4 + 1722 = 1 pm 2raiz11

Passo 8

Agora conferimos com o domínio: 1 + 2raiz11approx 7,63 está em x >= 1+raiz8 e 1 - 2raiz11approx -5,63 está em x <= 1-raiz8. Ambos são válidos e satisfazem a equação original, portanto há 2 raízes reais.

Resposta

2

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