Determine a região do plano definida pela inequação |x+y+4|+3 x-4<0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a região do plano (x,y) que satisfaz a inequação |x+y+4|+3x-4<0.
Informações dadas:
  • A inequação é |x+y+4|+3x-4<0.
  • Precisamos encontrar o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 que tornam essa desigualdade verdadeira.
O que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Propriedade básica do valor absoluto: para uma expressão u e um número a, se |u|<a então necessariamente a>0 e -a<u<a. Irei aplicar isso com u=x+y+4 e a=4-3x.

Passo 2

Isolando o valor absoluto, passo 3x-4 para a direita:
|x+y+4| < 4-3x.
Agora uso a propriedade do valor absoluto: para que exista solução precisa que o lado direito seja positivo. Portanto exijo primeiro
4-3x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<\tfrac{4}{3}.
Se essa condição não ocorrer (ou seja, se x\ge \tfrac{4}{3}), não há solução porque o lado direito seria \le0 e o módulo é sempre \ge0.

Passo 3

Assumindo x<\tfrac{4}{3}, posso aplicar a equivalência |u|<a \iff -a<u<a. Com u=x+y+4 e a=4-3x obtemos a desigualdade dupla:
-(4-3x) < x+y+4 < 4-3x.
Vou simplificar os dois lados separadamente.
Esquerda:
-(4-3x)= -4+3x,
então
-4+3x < x+y+4.
Subtraindo x+4 de ambos os lados:
-4+3x -x -4 < y \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-8 < y.
Direita:
x+y+4 < 4-3x.
Subtraindo 4 e somando 3x ambos os lados:
x+y+4 -4 +3x < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x+y < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y < -4x.

Passo 4

Juntando as duas desigualdades e lembrando a condição x<\tfrac{4}{3}, obtemos
2x-8 < y < -4x\qquad\text{e}\qquad x<\tfrac{4}{3}.
Ou seja, para cada x<\tfrac{4}{3} a coordenada y deve ficar estritamente entre as retas y=2x-8 (inferior) e y=-4x (superior).
Vou comentar rapidamente sobre as fronteiras:
  • A reta y=2x-8 não está incluída porque, colocando y=2x-8 na inequação original, obtém-se igualdade (resultado zero), não estrita.
  • A reta y=-4x também não está incluída porque nela a desigualdade chega a igualidade limítrofe no processo de simplificação.
  • A linha x=\tfrac{4}{3} não é permitida pois para x=\tfrac{4}{3} o membro direito 4-3x é zero e a condição |x+y+4|<0 não tem solução.

Passo 5

Interpretação geométrica e resumo didático curto:
  • A região é a faixa (faixa aberta nas duas bordas horizontais oblíquas) entre as retas y=2x-8 e y=-4x, limitada à esquerda/direita apenas pela condição x<\tfrac{4}{3}. Para todo x<\tfrac{4}{3} escolhe-se y tal que 2x-8<y<-4x.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<\tfrac{4}{3},\;2x-8<y<-4x\}

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