Determine a região do plano definida pela inequação
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a região do plano
que satisfaz a inequação
.
Informações dadas:
- A inequação é
. - Precisamos encontrar o conjunto de todos os pares
que tornam essa desigualdade verdadeira.
O que vamos usar (sem resolver ainda):
- Propriedade básica do valor absoluto: para uma expressão
e um número , se então necessariamente e . Irei aplicar isso com e .
Passo 2
Isolando o valor absoluto, passo
para a direita:
Agora uso a propriedade do valor absoluto: para que exista solução precisa que o lado direito seja positivo. Portanto exijo primeiro
Se essa condição não ocorrer (ou seja, se
), não há solução porque o lado direito seria
e o módulo é sempre
.
Passo 3
Assumindo
, posso aplicar a equivalência
. Com
e
obtemos a desigualdade dupla:
Vou simplificar os dois lados separadamente.
Esquerda:
então
Subtraindo
de ambos os lados:
Direita:
Subtraindo
e somando
ambos os lados:
Passo 4
Juntando as duas desigualdades e lembrando a condição
, obtemos
Ou seja, para cada
a coordenada
deve ficar estritamente entre as retas
(inferior) e
(superior).
Vou comentar rapidamente sobre as fronteiras:
- A reta
não está incluída porque, colocando na inequação original, obtém-se igualdade (resultado zero), não estrita. - A reta
também não está incluída porque nela a desigualdade chega a igualidade limítrofe no processo de simplificação. - A linha
não é permitida pois para o membro direito é zero e a condição não tem solução.
Passo 5
Interpretação geométrica e resumo didático curto:
- A região é a faixa (faixa aberta nas duas bordas horizontais oblíquas) entre as retas
e , limitada à esquerda/direita apenas pela condição . Para todo escolhe-se tal que .