Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações: R:\left\{\begin{array}{l}x \geq y+1 \\\ x^{2}+y^{2}<1 \\\\ -x \geq y\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede um esboço (ou descrição) da região do plano formada pela interseção das três condições abaixo. Vou listar claramente o que nos é dado e o que devemos encontrar.
Dados (pego diretamente do enunciado):
x \geq y+1.
x^{2}+y^{2}<1.
-x \geq y.
O que se pede:
Esboçar (descrever) a região R do plano que satisfaz simultaneamente as três desigualdades acima.
Passo 2
Interpretação geométrica de cada inequação (isso ajuda muito a desenhar).
A inequação x \geq y+1 é equivalente a y \le x-1.
A curva limite é a reta y = x-1 (reta de inclinação 1 que passa por (1,0) e por (0,-1)).
A desigualdade indica a região no lado inferior/à direita dessa reta (inclui a própria reta, porque é \ge / \le).
A inequação x^{2}+y^{2}<1 é o interior do círculo de raio 1 centrado na origem.
A borda x^{2}+y^{2}=1 não faz parte da região porque a desigualdade é estrita "<".
A inequação -x \ge y é equivalente a y \le -x.
A curva limite é a reta y = -x (diagonal decrescente passando pela origem).
A desigualdade indica a região abaixo dessa reta (inclui a própria reta).
Portanto R é a interseção do interior do círculo unitário com as duas meias-planos y \le x-1 e y \le -x.
Passo 3
Achar pontos de interesse: interseção das retas e interseção das retas com o círculo.
Os pontos são \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Passo 4
Verificar quais desses pontos satisfazem todas as desigualdades (e observar inclusão/exclusão por causa do “<” do círculo).
O ponto \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) (interseção das retas) verifica:
x\ge y+1: \tfrac{1}{2}\ge -\tfrac{1}{2}+1 é \tfrac{1}{2}\ge\tfrac{1}{2}, OK.
-x\ge y: -\tfrac{1}{2}\ge -\tfrac{1}{2}, OK.
x^{2}+y^{2}=(\tfrac{1}{2})^{2}+(-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{2}<1, OK.
Conclusão: \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)\in R.
Ponto (0,-1): pertence à reta y=x-1 e ao círculo, mas x^{2}+y^{2}=1 (na fronteira do círculo), e como precisamos de x^{2}+y^{2}<1, esse ponto NÃO pertence a R.
Ponto \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right): está na interseção da reta y=-x com o círculo, mas novamente pertence à fronteira do círculo (igualdade), então também NÃO pertence a R.
Ponto (1,0): está na interseção de y=x-1 com o círculo, mas verifica -x\ge y? temos -1\ge 0 que é falso. Então (1,0) nem mesmo satisfaz todos os meias-planos; além disso está na fronteira do círculo.
Resumo: as interseções com o círculo estão na fronteira e, por causa de x^{2}+y^{2}<1, esses pontos na fronteira do círculo ficam excluídos. O único ponto notável interno que pertence a R é \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).
Passo 5
Entender qual reta “manda” (ou seja, qual das duas retas dá o limite superior para y) conforme x. Compare x-1 e -x:
Resolver -x \le x-1 (quando -x é menor ou igual a x-1, então \min(x-1,-x) = -x):-x \le x-1 \quad\Rightarrow\quad -2x \le -1 \quad\Rightarrow\quad x \ge \tfrac{1}{2}.
Portanto:
Para x \ge \tfrac{1}{2} o limite superior para y é y\le -x.
Para x \le \tfrac{1}{2} o limite superior para y é y\le x-1.
Isto mostra que as duas retas se encontram em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) e a região exigida fica por baixo da “V” formado por y=x-1 (à esquerda) e y=-x (à direita).
Passo 6
Determinar o intervalo de abscissas x onde existe algum y dentro do círculo que satisfaça as duas restrições sobre y.
Para um dado x, os y admissíveis dentro do círculo são-\sqrt{\,1-x^{2}\,}<y<\sqrt{\,1-x^{2}\,}.Para existir y que satisfaça também y\le\min(x-1,-x) é necessário que-\sqrt{\,1-x^{2}\,} < \min(x-1,-x).
Separar em casos:
Se x\le\tfrac{1}{2}, então \min(x-1,-x)=x-1. A condição fica-\sqrt{1-x^{2}} < x-1.Para x\in[0,\tfrac{1}{2}] essa desigualdade é verdadeira estritamente para x>0 (em x=0 há igualdade: -1 = 0-1). Para x<0 a desigualdade falha porque x-1 fica muito negativo.
Assim, na prática, para x entre 0 e \tfrac{1}{2} (aberto em 0, fechado em \tfrac{1}{2}) há pontos admissíveis.
Se x\ge\tfrac{1}{2}, então \min(x-1,-x)=-x. A condição fica-\sqrt{1-x^{2}} < -x \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{1-x^{2}} > x.Ao elevar ao quadrado (válido para x\ge 0) obtemos 1-x^{2} > x^{2}, ou seja x^{2}<\tfrac{1}{2}, portanto |x|<\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Combinando com x\ge\tfrac{1}{2} obtemos\tfrac{1}{2}\le x<\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Juntando os dois casos, o intervalo de abscissas que realmente produz pontos em R é0<x<\tfrac{1}{\sqrt{2}}.(em x=0 só aparece o ponto (0,-1) que está excluído por causa do círculo; em x=\tfrac{1}{\sqrt{2}} a única possibilidade é o ponto na fronteira do círculo, também excluído).
Passo 7
Descrição completa e clara da região R (como usar no esboço):
Geometricamente: R é a porção do interior do círculo unitário que fica abaixo de ambas as retas y=x-1 e y=-x. Essas duas retas se encontram em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right), que pertence a R. A fronteira do círculo onde ele encontra as retas (pontos (0,-1) e \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)) estão na borda do círculo e, portanto, não pertencem a R.
Em coordenadas (uma descrição útil para desenhar ou para testes):
Desenhe as retas y=x-1 (passa por (0,-1) e (1,0)) e y=-x (diagonal passando pela origem).
Marque o ponto de interseção das retas \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).
A região procurada é a parte do interior do círculo que fica abaixo das duas retas; é um “pedaço” limitado por:
à esquerda e em cima: a reta y=x-1 (segmento desde pouco acima de (0,-1) até \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)),
à direita e em cima: a reta y=-x (segmento desde \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) até próximo de \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)),
abaixo: a parte interior do círculo entre (0,-1) e \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Lembre-se: pontos na fronteira do círculo (a curva x^{2}+y^{2}=1) são excluídos; as retas y=x-1 e y=-x são permitidas (a desigualdade nelas é \le), logo os pontos sobre as retas que estiverem estritamente dentro do círculo pertencem a R. Em particular \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)\in R.
Resposta
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1,\;y\le x-1,\;y\le -x\}.
Equivalente: R=\{(x,y)\mid 0<x<\tfrac{1}{\sqrt{2}},\\\ -\sqrt{1-x^{2}}<y\le\min(x-1,-x)\}.
O vértice das retas é \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)\in R; os pontos (0,-1) e \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) estão na fronteira do círculo e, portanto, não pertencem a R.