O conjunto solução do sistema
contém pontos de quais quadrantes?
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de desigualdades
e pede: o conjunto solução contém pontos de quais quadrantes?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A primeira desigualdade é
. - A segunda desigualdade é
(ou seja, ). - Os quadrantes no plano são definidos por sinais de
e : - Quadrante
: . - Quadrante
: . - Quadrante
: . - Quadrante
: .
- Quadrante
Passo 2
Interpretação geométrica das duas curvas-limite (fronteiras):
- A fronteira da primeira desigualdade é a reta
, que intercepta os eixos em e . - A fronteira da segunda desigualdade é a reta
, que equivale a (reta de inclinação passando pela origem).
Passo 3
Encontro das duas retas (ponto onde as fronteiras se cruzam): resolver
Somando as duas equações obtemos
, logo
. Então
. O ponto de interseção é
(que está no quadrante
).]
Passo 4
Como saber de que lado das retas está a região viável? Técnica simples: testar um ponto de cada lado.
- Para
: o ponto dá falso, enquanto dá verdadeiro. Então a região permitida por é o semi-plano que contém (o lado “para fora”, onde a soma é grande). - Para
: o ponto dá verdadeiro, então a região permitida por é o semi-plano que contém , isto é, os pontos com (a região embaixo/à direita da reta ).
Passo 5
Estratégia prática para decidir sobre cada quadrante: em cada quadrante verificar se existem pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades, seja escolhendo um exemplo concreto ou raciocinando com desigualdades.
Passo 6
Teste para o Quadrante
(
). Tomemos o ponto
(ambos positivos). Verificações:
Logo
pertence à solução
. Portanto existem pontos de
no quadrante
.
Passo 7
Teste para o Quadrante
(
). Raciocínio: se
e
, então
(segunda desigualdade) seria impossível, porque isso exigiria que
fosse ao menos positivo (não se pode ter número negativo maior ou igual a número positivo). Formalmente, se
então
o que contradiz
. Portanto não há pontos de
no quadrante
.
Passo 8
Teste para o Quadrante
(
). Raciocínio: se
e
então
, logo não pode ser
. Assim, nenhum ponto do quadrante
satisfaz a primeira desigualdade, então não há pontos de
no quadrante
.
Passo 9
Teste para o Quadrante
(
). Aqui
é automaticamente satisfeito sempre que
e
(pois um número positivo é maior que um negativo). Resta garantir
. Para qualquer
podemos escolher
suficientemente grande, por exemplo
(note que
quando
), que dá exatamente
. Um exemplo concreto:
verifica
Portanto existem pontos de
no quadrante
.
Resposta
Quadrantes
e