O conjunto solução do sistema
R:\left\{\begin{array}{l} x+y \geq 10 \\\ x-y \geq 0 \end{array}\right.
contém pontos de quais quadrantes?

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de desigualdades
R:\left\{\begin{array}{l} x+y \geq 10 \\\ x-y \geq 0 \end{array}\right.
e pede: o conjunto solução contém pontos de quais quadrantes?
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira desigualdade é x+y\geq10.
  • A segunda desigualdade é x-y\geq0 (ou seja, x\geq y).
  • Os quadrantes no plano são definidos por sinais de x e y:
    • Quadrante I: x>0,\\ y>0.
    • Quadrante II: x<0,\\ y>0.
    • Quadrante III: x<0,\\ y<0.
    • Quadrante IV: x>0,\\ y<0.

Passo 2

Interpretação geométrica das duas curvas-limite (fronteiras):
  • A fronteira da primeira desigualdade é a reta \;x+y=10\;, que intercepta os eixos em (10,0) e (0,10).
  • A fronteira da segunda desigualdade é a reta \;x-y=0\;, que equivale a \;y=x\; (reta de inclinação 1 passando pela origem).

Passo 3

Encontro das duas retas (ponto onde as fronteiras se cruzam): resolver
\begin{cases} x+y=10\\[4pt] x-y=0 \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2x=10, logo x=5. Então y=5. O ponto de interseção é (5,5) (que está no quadrante I).]

Passo 4

Como saber de que lado das retas está a região viável? Técnica simples: testar um ponto de cada lado.
  • Para \;x+y\geq10\;: o ponto (0,0) 0+0\geq10 falso, enquanto (10,0) 10+0\geq10 verdadeiro. Então a região permitida por \;x+y\geq10\; é o semi-plano que contém (10,0) (o lado “para fora”, onde a soma é grande).
  • Para \;x-y\geq0\;: o ponto (1,0) 1-0\geq0 verdadeiro, então a região permitida por \;x-y\geq0\; é o semi-plano que contém (1,0), isto é, os pontos com x\geq y (a região embaixo/à direita da reta y=x).

Passo 5

Estratégia prática para decidir sobre cada quadrante: em cada quadrante verificar se existem pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades, seja escolhendo um exemplo concreto ou raciocinando com desigualdades.

Passo 6

Teste para o Quadrante I ( x>0,\\ y>0). Tomemos o ponto (6,4) (ambos positivos). Verificações:
6+4=10\geq10\quad\text{(ok)}
6-4=2\geq0\quad\text{(ok)}
Logo (6,4) pertence à solução R. Portanto existem pontos de R no quadrante I.

Passo 7

Teste para o Quadrante II ( x<0,\\ y>0). Raciocínio: se y>0 e x<0, então x\geq y (segunda desigualdade) seria impossível, porque isso exigiria que x fosse ao menos positivo (não se pode ter número negativo maior ou igual a número positivo). Formalmente, se y>0 então x\geq y>0 o que contradiz x<0. Portanto não há pontos de R no quadrante II.

Passo 8

Teste para o Quadrante III ( x<0,\\ y<0). Raciocínio: se x<0 e y<0 então x+y<0, logo não pode ser x+y\geq10. Assim, nenhum ponto do quadrante III satisfaz a primeira desigualdade, então não há pontos de R no quadrante III.

Passo 9

Teste para o Quadrante IV ( x>0,\\ y<0). Aqui x\geq y é automaticamente satisfeito sempre que x>0 e y<0 (pois um número positivo é maior que um negativo). Resta garantir x+y\geq10. Para qualquer y<0 podemos escolher x suficientemente grande, por exemplo x=10-y (note que 10-y>0 quando y<0), que dá exatamente x+y=(10-y)+y=10. Um exemplo concreto: (11,-1) verifica
11+(-1)=10\geq10\quad\text{e}\quad 11-(-1)=12\geq0.
Portanto existem pontos de R no quadrante IV.

Resposta

Quadrantes I e IV

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