Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) na região. \left(1+y^{3}\right) y^{\prime}=x^{2};
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
(1+y^{3})\,y' = x^{2}
ou, equivalentemente,
y' = f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{3}}.
Queremos aplicar o Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que exige que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).
Passo 2
Verificamos onde f é contínua. Como
f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{3}},
o único possível problema é o denominador 1+y^{3}. Logo f é contínua sempre que
Esse \partial f/\partial y também é contínuo sempre que 1+y^{3}\neq0, isto é, y\neq -1.
Passo 4
Como \,f e \partial f/\partial y são contínuas em qualquer região que não contenha a reta y=-1, escolhemos um retângulo aberto centrado em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) que não atinja y=-1. Basta tomar constantes a>0 e b>0 tais que
\bigl|y_{0}+1\bigr|>b,
e então definir
D = \bigl\{(x,y)\mid |x-x_{0}|<a,\;|y-y_{0}|<b\bigr\}.
Por construção em D temos y\neq -1, logo satisfazemos as hipóteses do teorema de Picard–Lindelöf.
Resposta
Uma região conveniente é qualquer retângulo aberto
com b<|y_{0}+1|. Nessa região f(x,y)=x^{2}/(1+y^{3}) e \partial f/\partial y são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).