Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) na região.
\left(1+y^{3}\right) y^{\prime}=x^{2};

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1+y^{3})\,y' = x^{2}
ou, equivalentemente,
y' = f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{3}}.
Queremos aplicar o Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que exige que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).

Passo 2

Verificamos onde f é contínua. Como
f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{3}},
o único possível problema é o denominador 1+y^{3}. Logo f é contínua sempre que
1+y^{3}\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad y\neq -1.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{2}}{1+y^{3}}\Bigr) =-\,\frac{x^{2}\,\bigl(3y^{2}\bigr)}{(1+y^{3})^{2}} =-\,\frac{3x^{2}y^{2}}{(1+y^{3})^{2}}.
Esse \partial f/\partial y também é contínuo sempre que 1+y^{3}\neq0, isto é, y\neq -1.

Passo 4

Como \,f e \partial f/\partial y são contínuas em qualquer região que não contenha a reta y=-1, escolhemos um retângulo aberto centrado em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) que não atinja y=-1. Basta tomar constantes a>0 e b>0 tais que
\bigl|y_{0}+1\bigr|>b,
e então definir
D = \bigl\{(x,y)\mid |x-x_{0}|<a,\;|y-y_{0}|<b\bigr\}.
Por construção em D temos y\neq -1, logo satisfazemos as hipóteses do teorema de Picard–Lindelöf.

Resposta

Uma região conveniente é qualquer retângulo aberto
D=\bigl\{(x,y)\mid |x-x_{0}|<a,\;|y-y_{0}|<b\bigr\}
com b<|y_{0}+1|. Nessa região f(x,y)=x^{2}/(1+y^{3}) e \partial f/\partial y são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).

Exercícios relacionados