Determine as curvas integrais das equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\cos x

Passo 1

O enunciado pede as curvas integrais da equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \cos x.
Tratam-se de equações do tipo \frac{dy}{dx}=f(x), em que a derivada de y em relação a x é conhecida. Para resolver, basta integrar a função f(x).

Passo 2

Reescrevemos a diferencial de y isolada, multiplicando ambos os lados por dx:
dy = \cos x\,dx.
Esse rearranjo nos deixa prontos para aplicar a integral indefinida em cada membro.

Passo 3

Aplicamos a integral em ambos os lados:
\int dy = \int \cos x\,dx.
Do lado esquerdo temos
\int dy = y,
e do lado direito, lembrando que a primitiva de \cos x é \sin x, obtemos
\int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A família de curvas integrais é
y = \sin x + C,
com C\in\mathbb{R}.

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