Determine uma região do plano
na qual a equação diferencial dada tenha uma única curva integral que passa por um ponto
garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade dessa região.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede uma região no plano
onde, para um ponto inicial
, o Teorema de Existência e Unicidade garanta uma única curva integral passando por
. O conteúdo é o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige escrever a EDO na forma
e encontrar um domínio onde
e
sejam contínuos.
Passo 2
Colocamos a equação na forma normal isolando
:
Logo definimos
Passo 3
O Teorema de Existência e Unicidade diz que, se
e
forem contínuas num aberto contendo
, então há uma e só uma solução que passa por
.
Passo 4
Calculamos a derivada em relação a
:
Tanto
quanto
têm denominador
ou
, que se anulam quando
.
Passo 5
Portanto
e
são contínuas em qualquer região que não contenha as linhas
ou
. Para garantir unicidade em torno de
, basta escolher um aberto que contenha
e que não cruze
. Por exemplo:
- Se
, podemos tomar - Se
, basta o semi-plano - Se
, basta
Resposta
Uma escolha natural é, por exemplo,
que contém
sempre que
. Nesse domínio
e
são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por
.