Determine uma região do plano x y na qual a equação diferencial dada tenha uma única curva integral que passa por um ponto (x0, y0) garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade dessa região.
(4-y^2) y^prime=x^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(4 - y^2),y' = x^2
e pede uma região no plano (x,y) onde, para um ponto inicial (x0,y0), o Teorema de Existência e Unicidade garanta uma única curva integral passando por (x0,y0). O conteúdo é o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige escrever a EDO na forma
y' = f(x,y)
e encontrar um domínio onde f e partial f/partial y sejam contínuos.

Passo 2

Colocamos a equação na forma normal isolando y':
y' = x^24 - y^2
Logo definimos
f(x,y) = x^24 - y^2

Passo 3

O Teorema de Existência e Unicidade diz que, se f e partial f/partial y forem contínuas num aberto contendo (x0,y0), então há uma e só uma solução que passa por (x0,y0).

Passo 4

Calculamos a derivada em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial yl(x^24 - y^2r) = x^2 cdot 2y(4 - y^2)^2
Tanto f(x,y) quanto partial f/partial y têm denominador (4 - y^2) ou (4 - y^2)^2, que se anulam quando y = pm 2.

Passo 5

Portanto f e partial f/partial y são contínuas em qualquer região que não contenha as linhas y = 2 ou y = -2. Para garantir unicidade em torno de (x0,y0), basta escolher um aberto que contenha (x0,y0) e que não cruze y = pm 2. Por exemplo:
  • Se lvert y0rvert<2, podemos tomar D=(x,y)mid -infty<x<infty,;|y|<2
  • Se y0>2, basta o semi-plano D=(x,y)mid -infty<x<infty,;y>2
  • Se y0<-2, basta D=(x,y)mid -infty<x<infty,;y<-2

Resposta

Uma escolha natural é, por exemplo,
D = (x,y)mid -infty < x < infty,; |y| < 2,
que contém (x0,y0) sempre que |y0|<2. Nesse domínio f(x,y)=x^2/(4-y^2) e partial f/partial y são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por (x0,y0).

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