Encontre valores de m de forma que a função y(x)=x^m seja solução da equação diferencial abaixo.
$x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}+15 y=0

Passo 1

O enunciado pede achar valores de m tais que a função
y(x)=x^m
seja solução da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' -7x y' +15y = 0
Para isso, assumimos solução do tipo x^m.

Passo 2

Computar as derivadas de y(x)=x^m. Utilizando a regra de potências, temos
y' = m,x^m-1,
y'' = m(m-1),x^m-2

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação diferencial:
x^2l(m(m-1)x^m-2r);-;7xl(m x^m-1r);+;15l(x^mr)=0
Isso simplifica para
l[m(m-1)-7m+15r],x^m=0

Passo 4

Como x^m não é identicamente zero para xneq0, o fator entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos a equação característica
m(m-1)-7m+15=0
que se expande em
m^2-8m+15=0

Passo 5

Resolver a equação quadrática m^2-8m+15=0. O discriminante é
De<a = (-8)^2-4cdot1cdot15 = 64-60 = 4,
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m = 8pmraiz42 = 8pm22,
de onde vêm
m=5ou m=3

Resposta

m=3ou m=5

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