Encontre valores de
de forma que a função
seja solução da equação diferencial abaixo.
$x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}+15 y=0
$x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}+15 y=0
Passo 1
O enunciado pede achar valores de
tais que a função
seja solução da equação de Euler–Cauchy
Para isso, assumimos solução do tipo
.
Passo 2
Computar as derivadas de
. Utilizando a regra de potências, temos
Passo 3
Substituir
,
e
na equação diferencial:
Isso simplifica para
Passo 4
Como
não é identicamente zero para
, o fator entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos a equação característica
que se expande em
Passo 5
Resolver a equação quadrática
. O discriminante é
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