Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região.
x d yd x=y;

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma região no plano xy onde a EDO x,dydx=y tenha solução passando por um ponto (x0,y0) nessa região. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem, e vamos precisar verificar onde a função f(x,y)=y/x e sua derivada parcial em relação a y são contínuas.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a EDO na forma padrão
dydx=yx
Aqui vemos que f(x,y)=y/x fica indefinida quando x=0, ou seja, não podemos incluir a reta x=0 na região.

Passo 3

Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, se f(x,y) e partial f/partial y são contínuas numa vizinhança de (x0,y0), então existe uma única solução que passa por esse ponto. Temos
partial fpartial y=1x,
e ambas as funções são contínuas sempre que xneq0.

Passo 4

Logo, basta escolher uma região conectada que não inclua x=0 e que contenha (x0,y0). Por exemplo, se x0>0 podemos tomar
D=(x,y):x>0,
eu se x0<0 tomamos
D=(x,y):x<0

Passo 5

De modo mais geral, qualquer retângulo (a,b)timesR com ou 0< a< b (caso x0>0) ou a< b<0 (caso x0<0) também funciona, pois em tais regiões f e partial f/partial y são contínuas.

Resposta

Uma região válida é qualquer região conectada sem a linha x=0 que contenha (x0,y0). Por exemplo, se x0>0 escolhemos (x,y):x>0, e se x0<0 escolhemos (x,y):x<0.

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