Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar uma região no plano
onde a EDO
tenha solução passando por um ponto
nessa região. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem, e vamos precisar verificar onde a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a EDO na forma padrão
Aqui vemos que
fica indefinida quando
, ou seja, não podemos incluir a reta
na região.
Passo 3
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, se
e
são contínuas numa vizinhança de
, então existe uma única solução que passa por esse ponto. Temos
e ambas as funções são contínuas sempre que
.
Passo 4
Logo, basta escolher uma região conectada que não inclua
e que contenha
. Por exemplo, se
podemos tomar
eu se
tomamos
Passo 5
De modo mais geral, qualquer retângulo
com ou 0< a< b (caso
) ou a< b<0 (caso
) também funciona, pois em tais regiões
e
são contínuas.
Resposta
Uma região válida é qualquer região conectada sem a linha
que contenha
. Por exemplo, se
escolhemos
, e se
escolhemos
.