Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2)
j)
k)
l)
m)
se
e
se
.
n)
se
e
se
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2)
j)
k)
l)
m)
n)
Passo 1
O enunciado pede para, fazendo uma tabela de valores, esboçar os gráficos de 14 funções diferentes. O conteúdo é esboço de gráficos usando tabelas, conhecendo vértices de parábolas, definição de funções absolutas, racionais, radicais e funções definidas por partes. Vamos ver cada grupo de funções e mostrar como montar a tabela e tirar as características principais para desenhar o esboço.
Passo 2
Para as parábolas com forma básica y=x² somadas ou deslocadas (itens a–d): escolha alguns valores de x (por exemplo –2, –1, 0, 1, 2), calcule y em cada função e identifique o vértice e o eixo de simetria. Isso já basta para riscar o esboço.
Para y=x|x| (item e): note que para x≥0 temos y=x² e para x<0 temos y=–x². Monte a tabela em cada região (por exemplo x=–2,–1,0,1,2) e esboce duas parábolas que se unem em (0,0).
Para y=x|x| (item e): note que para x≥0 temos y=x² e para x<0 temos y=–x². Monte a tabela em cada região (por exemplo x=–2,–1,0,1,2) e esboce duas parábolas que se unem em (0,0).
Passo 3
Para y=1/(x–2) (item f): observe domínio x≠2, assíntotas vertical x=2 e horizontal y=0, escolha valores à esquerda e à direita de x=2 (como 0,1,3,4) para ver comportamento e desenhar a hipérbole em dois ramos.
Para y=√(4–x²) (item g): domínio –2≤x≤2; basta montar a tabela em –2,–1,0,1,2 e notar que a curva é a semicircunferência superior de raio 2.
Para y=√(x–1)+√(3–x) (item h): domínio 1≤x≤3; monte valores em x=1,2,3 (y=0,√1+√1=2,0) e esboce o arco simétrico com máximo em x=2.
Para y=√(4–x²) (item g): domínio –2≤x≤2; basta montar a tabela em –2,–1,0,1,2 e notar que a curva é a semicircunferência superior de raio 2.
Para y=√(x–1)+√(3–x) (item h): domínio 1≤x≤3; monte valores em x=1,2,3 (y=0,√1+√1=2,0) e esboce o arco simétrico com máximo em x=2.
Passo 4
Para y=1/(1+√x) (item i): domínio x≥0; escolha x=0,1,4 e veja y decresce de 1 para 1/3, 1/ (1+2)=1/3, etc., pois é decrescente e tende a 0.
Para y=|x–1|+|x–2| (item j): faça estudo por regiões x<1, 1≤x<2, x≥2; monte tabela em pontos-chave (0,1,2,3) e esboce trechos lineares com mudanças de inclinação em x=1 e x=2.
Para y=|x|/(1–x) (item k): domínio x≠1; divida em x<0,0≤x<1,x>1; escolha pontos –1,0,0.5,2 para montar a tabela, note assíntota vertical em x=1 e sinal trocado após 1.
Para y=|x–1|+|x–2| (item j): faça estudo por regiões x<1, 1≤x<2, x≥2; monte tabela em pontos-chave (0,1,2,3) e esboce trechos lineares com mudanças de inclinação em x=1 e x=2.
Para y=|x|/(1–x) (item k): domínio x≠1; divida em x<0,0≤x<1,x>1; escolha pontos –1,0,0.5,2 para montar a tabela, note assíntota vertical em x=1 e sinal trocado após 1.
Passo 5
Para y=1+x–|x| (item l): estude x<0 e x≥0 separadamente: para x<0 temos y=1+x+ x=1+2x; para x≥0 temos y=1+x–x=1. Monte tabela em –1,0,1 e esboce um segmento de reta com inclinação 2 até (0,1) e depois reta horizontal.
Para m) y=x² se x<1 e y=2–(x–2)² se x>1: monte tabela em x=0,0.5,1,1.5,2; para x<1 é parte da parábola y=x², em x>1 é parábola com vértice em (2,2). Una os dois ramos sem pontuar o x=1.
Para n) y=x²–1 se x≤0 e y=x se x>0: monte em x=–2,–1,0,1,2; para x≤0 é parábola deslocada para baixo, após x=0 é reta y=x. Faça o esboço com mudança de curva em x=0.
Para m) y=x² se x<1 e y=2–(x–2)² se x>1: monte tabela em x=0,0.5,1,1.5,2; para x<1 é parte da parábola y=x², em x>1 é parábola com vértice em (2,2). Una os dois ramos sem pontuar o x=1.
Para n) y=x²–1 se x≤0 e y=x se x>0: monte em x=–2,–1,0,1,2; para x≤0 é parábola deslocada para baixo, após x=0 é reta y=x. Faça o esboço com mudança de curva em x=0.
Resposta
a) Parábola concavidade para cima, vértice em (0,1).
b) Parábola com vértice em (1,0).
c) Parábola com vértice em (-1,0).
d) Parábola com vértice em (0,-1).
e) Duas parábolas: y=-x² para x<0 e y=x² para x≥0, encontrando-se em (0,0).
f) Hipérbole com assíntotas x=2 e y=0, ramos nos quadrantes acima e abaixo das assíntotas.
g) Semicircunferência superior de raio 2, centrada na origem.
h) Arco simétrico com domínio [1,3], máximo y=2 em x=2.
i) Função decrescente de 1 para 0, definida para x≥0, tem assíntota horizontal y=0.
j) Gráfico em três trechos lineares com “vértices” em x=1 e x=2.
k) Função com assíntota vertical em x=1, muda de sinal após x=1, reta hiperbólica.
l) Para x<0 reta de inclinação 2 atravessando (0,1), para x≥0 reta horizontal y=1.
m) Parte da parábola y=x² para x<1 e parte da parábola y=2-(x-2)² para x>1, sem ponto em x=1.
n) Para x≤0 parábola y=x²-1; para x>0 reta y=x; troca de curva em x=0.
b) Parábola com vértice em (1,0).
c) Parábola com vértice em (-1,0).
d) Parábola com vértice em (0,-1).
e) Duas parábolas: y=-x² para x<0 e y=x² para x≥0, encontrando-se em (0,0).
f) Hipérbole com assíntotas x=2 e y=0, ramos nos quadrantes acima e abaixo das assíntotas.
g) Semicircunferência superior de raio 2, centrada na origem.
h) Arco simétrico com domínio [1,3], máximo y=2 em x=2.
i) Função decrescente de 1 para 0, definida para x≥0, tem assíntota horizontal y=0.
j) Gráfico em três trechos lineares com “vértices” em x=1 e x=2.
k) Função com assíntota vertical em x=1, muda de sinal após x=1, reta hiperbólica.
l) Para x<0 reta de inclinação 2 atravessando (0,1), para x≥0 reta horizontal y=1.
m) Parte da parábola y=x² para x<1 e parte da parábola y=2-(x-2)² para x>1, sem ponto em x=1.
n) Para x≤0 parábola y=x²-1; para x>0 reta y=x; troca de curva em x=0.