Determine uma relação entre x e y, eliminando a variável t e então esboce as curvas planas dadas com base nesta informação. Em todos os casos considere t>0. Exemplo: x=t e y=t+1, logo temos a reta y=x+1.
x=t^{2}+1, y=t^{2}-1

Passo 1

O enunciado dá as relações paramétricas \,x=t^{2}+1 e \,y=t^{2}-1 e pede duas coisas: eliminar a variável parâmetro t (considerando t>0) para obter uma relação entre x e y, e então esboçar a curva resultante. Informações relevantes fornecidas:
x=t^{2}+1,\qquad y=t^{2}-1,\qquad t>0.

Passo 2

Observação básica para eliminar parâmetro: se as duas expressões dependem da mesma potência de t (aqui t^{2}), normalmente isolamos essa potência em cada expressão e as igualamos. Vou fazer isso passo a passo, mostrando o porquê de cada movimento algébrico.
Da expressão \,x=t^{2}+1 isolamos t^{2}:
t^{2}=x-1.
Expliquei: eu subtraio 1 de ambos os lados para deixar t^{2} sozinho. Cada símbolo significa: t é o parâmetro (variando em (0,\infty)), x é a coordenada horizontal dada pela fórmula, e 1 é constante.

Passo 3

Agora da expressão \,y=t^{2}-1 também isolamos t^{2}:
t^{2}=y+1.
Expliquei: somo 1 a ambos os lados para obter t^{2} em termos de y.

Passo 4

Como ambas as expressões valem t^{2}, igualamos-as:
x-1 = y+1.
Agora resolvemos essa igualdade para obter a relação entre x e y. Subtraindo y e somando 1 dos dois lados (passos elementares de álgebra):
x-y = 2.
Ou isolando y,
y = x-2.
Expliquei: isso significa que geometricamente os pontos estão sobre a reta de equação y=x-2.

Passo 5

Mas atenção: o parâmetro tem restrição t>0. Isso impõe uma condição extra via t^{2}. Como t>0 temos t^{2}>0. Usando t^{2}=x-1 obtemos
x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1.
Usando t^{2}=y+1 obtemos
y+1>0 \quad\Rightarrow\quad y>-1.
Essas duas desigualdades são equivalentes porque y=x-2: se x>1 então y=x-2>-1. Portanto a condição do parâmetro seleciona só parte da reta.

Passo 6

Concluindo a descrição da curva: a equação é a reta \,y=x-2 mas somente os pontos com \,x>1 (ou, equivalentemente, \,y>-1) aparecem quando t>0. Em linguagem geométrica: temos um semirreta (um raio) sobre a reta \,y=x-2 que começa próximo de (1,-1) e segue indefinidamente no sentido de aumentar x e y.

Passo 7

Comentário sobre a orientação e pontos notáveis (útil para esboçar): quando t cresce, t^{2} cresce, então ambos x=t^{2}+1 e y=t^{2}-1 aumentam — o ponto percorre a reta na direção em que x e y aumentam (vetor direção (1,1)). Limites: \lim_{t\to0^{+}}(t^{2}+1,t^{2}-1)=(1,-1) (ponto não alcançado pois t>0), e para t=1 temos o ponto (2,0) que pertence à curva, para t=2 temos (5,3), etc. Para esboçar: desenhe a reta y=x-2, marque o ponto (1,-1) com círculo aberto e trace a semirreta a partir desse ponto na direção nordeste, passando por (2,0).

Resposta

y = x - 2,\quad x>1

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