Determine uma relação entre
e
, eliminando a variável
e então esboce as curvas planas dadas com base nesta informação. Em todos os casos considere
. Exemplo:
e
, logo temos a reta
.
Passo 1
O enunciado dá as relações paramétricas
e
e pede duas coisas: eliminar a variável parâmetro
(considerando
) para obter uma relação entre
e
, e então esboçar a curva resultante. Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Observação básica para eliminar parâmetro: se as duas expressões dependem da mesma potência de
(aqui
), normalmente isolamos essa potência em cada expressão e as igualamos. Vou fazer isso passo a passo, mostrando o porquê de cada movimento algébrico.
Da expressão
isolamos
:
Expliquei: eu subtraio
de ambos os lados para deixar
sozinho. Cada símbolo significa:
é o parâmetro (variando em
),
é a coordenada horizontal dada pela fórmula, e
é constante.
Passo 3
Agora da expressão
também isolamos
:
Expliquei: somo
a ambos os lados para obter
em termos de
.
Passo 4
Como ambas as expressões valem
, igualamos-as:
Agora resolvemos essa igualdade para obter a relação entre
e
. Subtraindo
e somando
dos dois lados (passos elementares de álgebra):
Ou isolando
,
Expliquei: isso significa que geometricamente os pontos estão sobre a reta de equação
.
Passo 5
Mas atenção: o parâmetro tem restrição
. Isso impõe uma condição extra via
. Como
temos
. Usando
obtemos
Usando
obtemos
Essas duas desigualdades são equivalentes porque
: se
então
. Portanto a condição do parâmetro seleciona só parte da reta.
Passo 6
Concluindo a descrição da curva: a equação é a reta
mas somente os pontos com
(ou, equivalentemente,
) aparecem quando
. Em linguagem geométrica: temos um semirreta (um raio) sobre a reta
que começa próximo de
e segue indefinidamente no sentido de aumentar
e
.
Passo 7
Comentário sobre a orientação e pontos notáveis (útil para esboçar): quando
cresce,
cresce, então ambos
e
aumentam — o ponto percorre a reta na direção em que
e
aumentam (vetor direção
). Limites:
(ponto não alcançado pois
), e para
temos o ponto
que pertence à curva, para
temos
, etc. Para esboçar: desenhe a reta
, marque o ponto
com círculo aberto e trace a semirreta a partir desse ponto na direção nordeste, passando por
.