Determine uma relação entre x e y, eliminando a variável t e então esboce as curvas planas dadas com base nesta informação. Em todos os casos considere t>0. Exemplo: x=t e y=t+1, logo temos a reta y=x+1.
x=t-2, y=2 t+3

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas
x=t-2 e y=2t+3 e pede duas coisas: (a) eliminar a variável t para obter uma relação entre x e y; (b) esboçar a curva plana correspondente. Foi dado também que t>0. Não faço ainda nenhuma conta neste passo, só listei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Primeiro isolamos t a partir da expressão para x. A equação é
x = t-2.
Somando 2 em ambos os lados temos
t = x+2.
Aqui expliquei cada passo: isolar significa deixar t sozinho em um dos lados da igualdade, para depois substituir na outra expressão.

Passo 3

Agora substituímos t = x+2 na expressão de y. A fórmula original é
y = 2t + 3.
Substituindo t obtemos
y = 2(x+2) + 3.

Passo 4

Simplifico a expressão anterior distribuindo o 2 e somando constantes:
y = 2x + 4 + 3 = 2x + 7.
Portanto a relação cartesiana (sem o parâmetro) é y=2x+7. Aqui estou usando a distribuição 2(x+2)=2x+4 e depois somando 3.

Passo 5

Agora uso a condição t>0 para limitar quais pontos da reta são realmente percorridos. Como x=t-2, temos
x = t-2 > 0-2 \quad\Rightarrow\quad x>-2.
Logo a curva paramétrica corresponde apenas à porção da reta y=2x+7 com x>-2. Em termos do conjunto de pontos:
\{(x,y)\mid y=2x+7,\; x>-2\}.

Passo 6

Interpretação geométrica e sinalização da direção (útil para o esboço): o vetor velocidade do parâmetro é (dx/dt,\;dy/dt)=(1,\;2). Isso indica que, à medida que t aumenta, movemos um passo à direita e dois passos para cima — ou seja, a orientação da curva é no sentido crescente de x e y. O declive (coeficiente angular) da reta é 2.

Passo 7

Identifico pontos práticos para desenhar a reta/raio. Mesmo que t>0, é útil calcular alguns pontos com t inteiro:
t=1\Rightarrow (x,y)=(-1,5),
t=2\Rightarrow (x,y)=(0,7),
t=3\Rightarrow (x,y)=(1,9).
Se t\to0^+ (fronteira), o ponto tende para (-2,3), mas esse ponto não pertence à curva porque t>0 (portanto desenharíamos um círculo aberto em (-2,3)).

Passo 8

Como esboçar: desenhe a reta y=2x+7 (reta de inclinação 2 e intercepto em y igual a 7). Marque o ponto (-2,3) com um círculo aberto (não incluído). A partir desse ponto, trace uma semi‑reta indo para a direita e para cima, passando por (-1,5), (0,7), (1,9) etc., e coloque uma seta indicando que a semi‑reta vai no sentido de t crescente. Isso descreve totalmente o esboço pedido.

Resposta

y=2x+7
Porção da reta com x>-2 (semi‑reta parametrizada por t>0; ponto de limite (-2,3) não incluído).

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