Determine uma relação entre
e
, eliminando a variável
e então esboce as curvas planas dadas com base nesta informação. Em todos os casos considere
. Exemplo:
e
, logo temos a reta
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas
e
e pede duas coisas: (a) eliminar a variável
para obter uma relação entre
e
; (b) esboçar a curva plana correspondente. Foi dado também que
. Não faço ainda nenhuma conta neste passo, só listei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Primeiro isolamos
a partir da expressão para
. A equação é
Somando
em ambos os lados temos
Aqui expliquei cada passo: isolar significa deixar
sozinho em um dos lados da igualdade, para depois substituir na outra expressão.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão de
. A fórmula original é
Substituindo
obtemos
Passo 4
Simplifico a expressão anterior distribuindo o
e somando constantes:
Portanto a relação cartesiana (sem o parâmetro) é
. Aqui estou usando a distribuição
e depois somando
.
Passo 5
Agora uso a condição
para limitar quais pontos da reta são realmente percorridos. Como
, temos
Logo a curva paramétrica corresponde apenas à porção da reta
com
. Em termos do conjunto de pontos:
Passo 6
Interpretação geométrica e sinalização da direção (útil para o esboço): o vetor velocidade do parâmetro é
. Isso indica que, à medida que
aumenta, movemos um passo à direita e dois passos para cima — ou seja, a orientação da curva é no sentido crescente de
e
. O declive (coeficiente angular) da reta é
.
Passo 7
Identifico pontos práticos para desenhar a reta/raio. Mesmo que
, é útil calcular alguns pontos com
inteiro:
Se
(fronteira), o ponto tende para
, mas esse ponto não pertence à curva porque
(portanto desenharíamos um círculo aberto em
).
Passo 8
Como esboçar: desenhe a reta
(reta de inclinação
e intercepto em
igual a
). Marque o ponto
com um círculo aberto (não incluído). A partir desse ponto, trace uma semi‑reta indo para a direita e para cima, passando por
,
,
etc., e coloque uma seta indicando que a semi‑reta vai no sentido de
crescente. Isso descreve totalmente o esboço pedido.
Resposta
Porção da reta com
(semi‑reta parametrizada por
; ponto de limite
não incluído).