e pede: determinar a representação de f por um integral de Fourier (ou seja, achar a transformada de Fourier de f e escrever f como a integral inversa).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
f(x) é suportada em (-\infty,0) (vale zero para x\ge0);
a parte não nula é e^{3x}, que tende a 0 quando x\to -\infty, então integrais impropriamente convergentes deverão convergir.]
Passo 2
Vou definir a transformada e a fórmula de inversão que vou usar (essas são as fórmulas padrão para integral de Fourier neste exercício).
Definição da transformada de Fourier (frequência \omega):
t é a variável de integração (tempo/espaço) na definição de \hat f;
\omega é a frequência (variável da transformada);
i é a unidade imaginária;
Essas fórmulas dizem: primeiro faço a integral de f(t) multiplicada por e^{-i\omega t} para obter \hat f(\omega), depois multiplico \hat f(\omega) por e^{i\omega x} e integro sobre \omega (com fator 1/(2\pi)) para voltar a f(x).
Passo 3
Calcular \hat f(\omega) usando a definição e a forma de f. Como f(t)=0 para t\ge0, a integral fica só em (-\infty,0):
Esta é a representação solicitada: f como integral de Fourier. Podemos igualmente escrever o integrando em forma racional real (multiplicando numerador e denominador por 3+i\omega):
Agora uso que \operatorname{sgn}(x)=1 para x>0 e \operatorname{sgn}(x)=-1 para x<0. Então:
se x>0: 1-\operatorname{sgn}(x)=0 e f(x)=0;
se x<0: 1-\operatorname{sgn}(x)=2 e f(x)=e^{-3|x|}=e^{3x}.
No ponto x=0 a expressão dá f(0)=\tfrac{1}{2}, que é o valor de convergência da integral de Fourier (valor médio dos limites laterais). Assim a representação por integral de Fourier reproduz a função original para x\neq0 e dá o valor médio em x=0.