Determine a representação da função por um integral de Fourier:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{3 x}, x<0 \\\\ 0, x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}e^{3x},& x<0,\\[4pt]0,& x\ge 0.\end{cases}
e pede: determinar a representação de f por um integral de Fourier (ou seja, achar a transformada de Fourier de f e escrever f como a integral inversa).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • f(x) é suportada em (-\infty,0) (vale zero para x\ge0);
  • a parte não nula é e^{3x}, que tende a 0 quando x\to -\infty, então integrais impropriamente convergentes deverão convergir.]

Passo 2

Vou definir a transformada e a fórmula de inversão que vou usar (essas são as fórmulas padrão para integral de Fourier neste exercício).
Definição da transformada de Fourier (frequência \omega):
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Fórmula de inversão (reconstruir f a partir de \hat f):
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • t é a variável de integração (tempo/espaço) na definição de \hat f;
  • \omega é a frequência (variável da transformada);
  • i é a unidade imaginária;
  • Essas fórmulas dizem: primeiro faço a integral de f(t) multiplicada por e^{-i\omega t} para obter \hat f(\omega), depois multiplico \hat f(\omega) por e^{i\omega x} e integro sobre \omega (com fator 1/(2\pi)) para voltar a f(x).

Passo 3

Calcular \hat f(\omega) usando a definição e a forma de f. Como f(t)=0 para t\ge0, a integral fica só em (-\infty,0):
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{0} e^{3t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{0} e^{(3-i\omega)t}\,dt.
Esta é uma integral exponencial impropriamente convergente; vamos calculá‑la explicitamente.

Passo 4

Calcular a integral exponencial. Para \operatorname{Re}(3-i\omega)=3>0 a integral ao limite -\infty converge a zero. Integrando:
\int_{-\infty}^{0} e^{(3-i\omega)t}\,dt =\left[\frac{e^{(3-i\omega)t}}{3-i\omega}\right]_{t=-\infty}^{t=0} =\frac{1}{3-i\omega}\bigl(1-0\bigr) =\frac{1}{3-i\omega}.
Portanto a transformada de Fourier é
\hat f(\omega)=\frac{1}{3-i\omega}.

Passo 5

Escrever a representação inversa (integral de Fourier) substituindo \hat f(\omega) na fórmula de inversão. Assim:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega x}}{3-i\omega}\,d\omega.
Esta é a representação solicitada: f como integral de Fourier. Podemos igualmente escrever o integrando em forma racional real (multiplicando numerador e denominador por 3+i\omega):
\frac{1}{3-i\omega}=\frac{3+i\omega}{9+\omega^{2}},
logo outra forma útil é
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{3+i\omega}{9+\omega^{2}}\,e^{i\omega x}\,d\omega.

Passo 6

Para ter mais segurança (útil na prova), verifico que essa integral retorna a função dada. Separei o integrando em duas parcelas:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{3}{9+\omega^{2}}e^{i\omega x}\,d\omega +\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{i\omega}{9+\omega^{2}}e^{i\omega x}\,d\omega.
Usarei duas integrais conhecidas (para a>0):
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega x}}{\omega^{2}+a^{2}}\,d\omega=\frac{\pi}{a}e^{-a|x|},
e, derivando em x,
i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\omega\,e^{i\omega x}}{\omega^{2}+a^{2}}\,d\omega=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\pi}{a}e^{-a|x|}\right)=-\pi\operatorname{sgn}(x)e^{-a|x|}.
Tomando a=3 e aplicando:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{3}{9+\omega^{2}}e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\cdot 3\cdot\frac{\pi}{3}e^{-3|x|}=\frac{1}{2}e^{-3|x|},
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{i\omega}{9+\omega^{2}}e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\cdot\bigl(-\pi\operatorname{sgn}(x)e^{-3|x|}\bigr) =-\frac{1}{2}\operatorname{sgn}(x)e^{-3|x|}.
Somando:
f(x)=\frac{1}{2}\bigl(1-\operatorname{sgn}(x)\bigr)e^{-3|x|}.
Agora uso que \operatorname{sgn}(x)=1 para x>0 e \operatorname{sgn}(x)=-1 para x<0. Então:
  • se x>0: 1-\operatorname{sgn}(x)=0 e f(x)=0;
  • se x<0: 1-\operatorname{sgn}(x)=2 e f(x)=e^{-3|x|}=e^{3x}.
    No ponto x=0 a expressão dá f(0)=\tfrac{1}{2}, que é o valor de convergência da integral de Fourier (valor médio dos limites laterais). Assim a representação por integral de Fourier reproduz a função original para x\neq0 e dá o valor médio em x=0.

Passo 7

Resumo prático para a prova (decorável e direto):
  • transformada: \hat f(\omega)=\dfrac{1}{3-i\omega};
  • inversão (representação por integral de Fourier):
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega x}}{3-i\omega}\,d\omega,
que é equivalente à forma com integrando real \dfrac{3+i\omega}{9+\omega^{2}}.

Resposta

\displaystyle \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{3-i\omega}\n
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega x}}{3-i\omega}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{3+i\omega}{9+\omega^{2}}\,e^{i\omega x}\,d\omega

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