Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto. Considere (x, y) \epsilon[0, a] \times[0, b].
x u_{x}+y u_{y}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
x\,u_x(x,y)+y\,u_y(x,y)=0
no retângulo (x,y)\in[0,a]\times[0,b]. O que se pede aqui é encontrar, usando o método de separação de variáveis, soluções na forma de produto
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Listei: dado x,y no retângulo acima e a PDE, buscar X e Y tais que u(X,Y) resolva a PDE.

Passo 2

Assuma u(x,y)=X(x)\,Y(y). Calcule as derivadas parciais (isso é só regra da diferenciação de produto, sem mistério):
u_x(x,y)=X'(x)\,Y(y),\qquad u_y(x,y)=X(x)\,Y'(y).
Substitua na PDE:
x\bigl(X'(x)\,Y(y)\bigr)+y\bigl(X(x)\,Y'(y)\bigr)=0.
Agrupando fatores e dividindo por X(x)Y(y) (desde que X(x)Y(y)\neq0; explico a exceção depois) obtemos
x\frac{X'(x)}{X(x)}+y\frac{Y'(y)}{Y(y)}=0.

Passo 3

Agora observe o truque da separação: o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y. Para que a soma deles seja sempre zero para todo x e y no domínio, cada termo deve ser igual a uma constante oposta. Portanto existe uma constante \lambda\in\mathbb{R} tal que
x\frac{X'(x)}{X(x)}=\lambda, \qquad y\frac{Y'(y)}{Y(y)}=-\lambda.
Isto dá duas equações diferenciais ordinárias separáveis:
Para X:
\frac{X'(x)}{X(x)}=\frac{\lambda}{x}.
Integre ambos os lados em x:
\int\frac{dX}{X}=\lambda\int\frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad \ln|X(x)|=\lambda\ln|x|+C_1.
Logo, definindo A=e^{C_1}, tem-se
X(x)=A\,x^{\lambda}.
Para Y:
\frac{Y'(y)}{Y(y)}=-\frac{\lambda}{y}.
Integre em y:
\int\frac{dY}{Y}=-\lambda\int\frac{dy}{y}\quad\Longrightarrow\quad \ln|Y(y)|=-\lambda\ln|y|+C_2.
Definindo B=e^{C_2}, obtemos
Y(y)=B\,y^{-\lambda}.

Passo 4

Multiplicando X por Y obtemos a família de soluções em produto
u(x,y)=X(x)Y(y)=A B\,x^{\lambda}y^{-\lambda}.
Chamando C=AB (constante arbitrária), a forma final é
u(x,y)=C\,x^{\lambda}y^{-\lambda}.
Observe algumas coisas importantes e úteis para a prova:
  • A constante C pode ser zero, o que dá a solução trivial u\equiv0.
  • Para \lambda=0 obtemos u=C (solução constante).
  • Essa família é equivalente a escrever
u(x,y)=C\left(\frac{x}{y}\right)^{\lambda},
ou, invertendo o expoente, u(x,y)=\widetilde C\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\alpha} com \alpha=-\lambda. Isso conecta com a solução geral por características que é uma função arbitrária de \dfrac{y}{x}: a separação fornece as potências (monômios) dessa família.
  • Atenção ao domínio: ao dividir por X Y ou por x e y assumiu-se x\neq0 e y\neq0. Se o retângulo inclui as bordas x=0 ou y=0, então para \lambda com sinal que gera potências negativas pode haver singularidade na borda (por exemplo y=0 com \lambda>0 faz y^{-\lambda} explodir). Para incluir as bordas sem singularidades, escolha \lambda e C adequadamente (por exemplo \lambda\ge0 evita singularidade em x=0, \lambda\le0 evita em y=0, ou tome C=0 ou defina valores por continuidade quando possível).
  • Se X ou Y for identificamente zero, obtemos apenas a solução trivial; por isso dividimos por XY assumindo não-trivialidade.

Passo 5

Exemplos concretos para fixar:
  • Escolhendo \lambda=1 e C=2 tem-se u(x,y)=2\,x\,y^{-1}=2\frac{x}{y}. Verifique diretamente na PDE: calcular u_x=2/y e u_y=-2x/y^2; então x u_x + y u_y = x(2/y)+y(-2x/y^2)=2x/y -2x/y=0. Está ok.
  • Escolhendo \lambda=-1 e C=1 tem-se u(x,y)=\dfrac{y}{x}, que também satisfaz a PDE.
    Pronto — estes são os tipos de soluções em produto obtidos pelo método de separação.

Resposta

u(x,y)=C\,x^{\lambda}y^{-\lambda},\quad C,\lambda\in\mathbb{R}

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