Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto. Considere
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
no retângulo
. O que se pede aqui é encontrar, usando o método de separação de variáveis, soluções na forma de produto
Listei: dado
no retângulo acima e a PDE, buscar
e
tais que
resolva a PDE.
Passo 2
Assuma
. Calcule as derivadas parciais (isso é só regra da diferenciação de produto, sem mistério):
Substitua na PDE:
Agrupando fatores e dividindo por
(desde que
; explico a exceção depois) obtemos
Passo 3
Agora observe o truque da separação: o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
. Para que a soma deles seja sempre zero para todo
e
no domínio, cada termo deve ser igual a uma constante oposta. Portanto existe uma constante
tal que
Isto dá duas equações diferenciais ordinárias separáveis:
Para
:
Integre ambos os lados em
:
Logo, definindo
, tem-se
Para
:
Integre em
:
Definindo
, obtemos
Passo 4
Multiplicando
por
obtemos a família de soluções em produto
Chamando
(constante arbitrária), a forma final é
Observe algumas coisas importantes e úteis para a prova:
- A constante
pode ser zero, o que dá a solução trivial . - Para
obtemos (solução constante). - Essa família é equivalente a escrever
ou, invertendo o expoente,
com
. Isso conecta com a solução geral por características que é uma função arbitrária de
: a separação fornece as potências (monômios) dessa família.
- Atenção ao domínio: ao dividir por
ou por e assumiu-se e . Se o retângulo inclui as bordas ou , então para com sinal que gera potências negativas pode haver singularidade na borda (por exemplo com faz explodir). Para incluir as bordas sem singularidades, escolha e adequadamente (por exemplo evita singularidade em , evita em , ou tome ou defina valores por continuidade quando possível). - Se
ou for identificamente zero, obtemos apenas a solução trivial; por isso dividimos por assumindo não-trivialidade.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar:
- Escolhendo
e tem-se . Verifique diretamente na PDE: calcular e ; então . Está ok. - Escolhendo
e tem-se , que também satisfaz a PDE.
Pronto — estes são os tipos de soluções em produto obtidos pelo método de separação.