Considere a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular.
a) Determine a equação da temperatura com as condições de contorno dadas:
b) Faça um gráfico variando
e mantendo fixo
e
(todos sobrepostos), usando uma ferramenta gráfica.
c) Faça um gráfico variando
e mantendo fixo
e
(todos sobrepostos), usando uma ferramenta gráfica.
a) Determine a equação da temperatura com as condições de contorno dadas:
c) Faça um gráfico variando
Passo 1
O enunciado pede a temperatura de regime estacionário numa placa retangular com as seguintes condições de contorno (tomando
e
):
As condições de contorno dadas são:
O que é pedido:
(a) determinar a expressão de que satisfaz a PDE e esses contornos;
(b) traçar o gráfico de versus
para
(curvas sobrepostas);
(c) traçar o gráfico de versus
para
(curvas sobrepostas).
(a) determinar a expressão de
(b) traçar o gráfico de
(c) traçar o gráfico de
Passo 2
Ideia geral do método (sem resolver ainda): para a equação de Laplace em retângulo com contornos de Neumann nas bordas
(derivada nula) e Dirichlet em
, é natural separar as variáveis e expandir em série no modo em
que satisfaça as condições em
. A condição
indica funções em
cuja derivada se anula nas bordas — isso é satisfeito por funções
(
). Logo vamos procurar solução como série em cossenos no
com coeficientes que dependem de
.
Passo 3
Expansão em cossenos (ansatz):
Explicação do porquê: qualquer função razoável em
pode ser escrita como série de cossenos (série de Fourier-cosseno) quando se exige derivada zero nas bordas (Neumann homogênea para as componentes). Aqui os coeficientes
são funções de
a determinar.
Plugando na equação de Laplace:
Como os cossenos são ortogonais, cada modo deve satisfazer a sua equação:
Passo 4
Resolver as equações ordinárias de cada modo.
Modo
:
As condições de contorno em
traduzem-se em condições para os coeficientes: expandindo as condições de Dirichlet em série de cossenos,
Tomando a média (integrando em
de
a
) obtém-se para o modo zero:
Solução linear que interpola esses valores:
Portanto a contribuição do modo zero é
Passo 5
Modos
. A equação é
cuja solução geral é combinação de exponenciais. Uma forma conveniente que já satisfaz a condição
é
pois
. Assim
Logo
Resta calcular
, que são os coeficientes da expansão em cossenos da função
em
:
A fórmula para coeficientes da série de cossenos é
Passo 6
Calcular explicitamente
por integração por partes.
Seja
Usando integração por partes: tome
,
, então
,
. Assim
O primeiro termo vale zero pois
. O segundo termo:
Como
e
,
Portanto
Observação importante: para
par temos
e então
; para
ímpar (
) temos
e
Passo 7
Montar a solução completa juntando modo zero e modos
. Substituindo
obtemos
Usando explicitamente os
(somente termos ímpares não nulos), uma forma conveniente é escrever a soma sobre índices ímpares:
(Na soma o sinal negativo aparece porque
.)
Breve verificação: em
todos os
e resta
que satisfaz
. Em
a série reduz à expansão em cossenos de
, recuperando
. As condições de Neumann em
são satisfeitas por construção (derivada em
de
é
, zero em
).
Passo 8
Como o enunciado pede gráficos (parte b e c), segue código pronto em Python (usando numpy+matplotlib) que gera os dois tipos de gráficos pedidos. O código aproxima a soma infinita truncando a soma em
(por exemplo
). Recomenda-se executar num ambiente com Python e estas bibliotecas.
Código Python para gerar os gráficos:
Observações práticas:
- Escolha
em torno de – para boa precisão; termos de alta frequência decaem como e também pela razão de , então a série converge bem. - Para
perto de a soma é rápida (muitos termos pequenos); para perto de é onde a série reproduz a forma linear em . - Se usar notebook, coloque o bloco em uma célula e execute; os dois gráficos aparecerão.]
Passo 9
Dicas para a prova (como fazer rápido e sem computador):
- Identifique rapidamente o tipo de contorno em
: Neumann homogênea sugere usar cossenos. - Mode zero (
) corresponde à média em ; resolva por simples interpolação linear em usando as médias das condições de Dirichlet. - Para
resolver a ODE e impor e igual ao coeficiente da expansão de . - Calcule
por partes com cuidado; lembre-se que resulta em , o que anula os termos pares.
Resposta
(a)
(b) Gráficos
versus
para
gerados pelo código Python fornecido nos passos.
(c) Gráficos versus
para
gerados pelo código Python fornecido nos passos.
(c) Gráficos