Considere a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular.
a) Determine a equação da temperatura com as condições de contorno dadas:
u_{x}(0, y)=0, \quad u_{x}(\pi, y)=0, \quad u(x, 0)=x, \quad u(x, 2 \pi)=0
b) Faça um gráfico variando x e mantendo fixo y=0, y=\frac{\pi}{2} e y=\pi (todos sobrepostos), usando uma ferramenta gráfica.
c) Faça um gráfico variando y e mantendo fixo x=0, x=\frac{\pi}{2} e x=\pi (todos sobrepostos), usando uma ferramenta gráfica.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de regime estacionário numa placa retangular com as seguintes condições de contorno (tomando x\in[0,\pi] e y\in[0,2\pi]):
u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{(equação de Laplace estacionária)}çãá
As condições de contorno dadas são:
u_{x}(0,y)=0,\quad u_{x}(\pi,y)=0,\quad u(x,0)=x,\quad u(x,2\pi)=0.
O que é pedido:
(a) determinar a expressão de u(x,y) que satisfaz a PDE e esses contornos;
(b) traçar o gráfico de u versus x para y=0,\;y=\frac{\pi}{2},\;y=\pi (curvas sobrepostas);
(c) traçar o gráfico de u versus y para x=0,\;x=\frac{\pi}{2},\;x=\pi (curvas sobrepostas).

Passo 2

Ideia geral do método (sem resolver ainda): para a equação de Laplace em retângulo com contornos de Neumann nas bordas x=0,\pi (derivada nula) e Dirichlet em y=0,2\pi, é natural separar as variáveis e expandir em série no modo em x que satisfaça as condições em x. A condição u_x(0,y)=u_x(\pi,y)=0 indica funções em x cuja derivada se anula nas bordas — isso é satisfeito por funções \cos(nx) ( n=0,1,2,\dots). Logo vamos procurar solução como série em cossenos no x com coeficientes que dependem de y.

Passo 3

Expansão em cossenos (ansatz):
u(x,y)=\frac{a_0(y)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n(y)\cos(nx).
Explicação do porquê: qualquer função razoável em x\in[0,\pi] pode ser escrita como série de cossenos (série de Fourier-cosseno) quando se exige derivada zero nas bordas (Neumann homogênea para as componentes). Aqui os coeficientes a_n(y) são funções de y a determinar.
Plugando na equação de Laplace:
\frac{a_0''(y)}{2}+\sum_{n=1}^\infty\big(a_n''(y)-n^2 a_n(y)\big)\cos(nx)=0.
Como os cossenos são ortogonais, cada modo deve satisfazer a sua equação:
a_0''(y)=0,\qquad a_n''(y)-n^2 a_n(y)=0\quad (n\ge 1).

Passo 4

Resolver as equações ordinárias de cada modo.
Modo n=0:
a_0''(y)=0\implies a_0(y)=A+By\quad\text{(linear em \(y\)).}
As condições de contorno em y traduzem-se em condições para os coeficientes: expandindo as condições de Dirichlet em série de cossenos,
u(x,0)=x=\frac{a_0(0)}{2}+\sum_{n\ge1} a_n(0)\cos(nx),
u(x,2\pi)=0=\frac{a_0(2\pi)}{2}+\sum_{n\ge1} a_n(2\pi)\cos(nx).
Tomando a média (integrando em x de 0 a \pi) obtém-se para o modo zero:
\frac{a_0(0)}{2}=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\,dx=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad a_0(0)=\pi,
\frac{a_0(2\pi)}{2}=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi 0\,dx=0\quad\Rightarrow\quad a_0(2\pi)=0.
Solução linear que interpola esses valores:
a_0(y)=\pi\Big(1-\frac{y}{2\pi}\Big)=\pi-\frac{y}{2}.
Portanto a contribuição do modo zero é
\frac{a_0(y)}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{4}.

Passo 5

Modos n\ge1. A equação é
a_n''(y)-n^2 a_n(y)=0,
cuja solução geral é combinação de exponenciais. Uma forma conveniente que já satisfaz a condição a_n(2\pi)=0 é
a_n(y)=A_n\operatorname{sinh}\big(n(2\pi-y)\big),
pois \operatorname{sinh}(n(2\pi-2\pi))=\operatorname{sinh} 0=0. Assim
a_n(0)=A_n\operatorname{sinh}(2\pi n)\quad\Rightarrow\quad A_n=\frac{a_n(0)}{\operatorname{sinh}(2\pi n)}.
Logo
a_n(y)=a_n(0)\,\frac{\operatorname{sinh}\big(n(2\pi-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2\pi n)}.
Resta calcular a_n(0), que são os coeficientes da expansão em cossenos da função f(x)=x em [0,\pi]:
x=\frac{a_0(0)}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n(0)\cos(nx).
A fórmula para coeficientes da série de cossenos é
a_n(0)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx\quad(n\ge1).

Passo 6

Calcular explicitamente a_n(0) por integração por partes.
Seja
I_n=\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx.
Usando integração por partes: tome u=x, dv=\cos(nx)\,dx, então du=dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_n=\Big[\frac{x\sin(nx)}{n}\Big]_0^\pi-\int_0^\pi\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
O primeiro termo vale zero pois \sin(n\pi)=0. O segundo termo:
-\frac{1}{n}\int_0^\pi\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\Big[-\frac{\cos(nx)}{n}\Big]_0^\pi=\frac{1}{n^2}\big(\cos(n\pi)-\cos 0\big).
Como \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos 0=1,
I_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Portanto
a_n(0)=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Observação importante: para n par temos (-1)^n=1 e então a_n(0)=0; para n ímpar ( n=2k+1) temos (-1)^n=-1 e
a_{2k+1}(0)=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{-2}{(2k+1)^2}=-\frac{4}{\pi(2k+1)^2}.

Passo 7

Montar a solução completa juntando modo zero e modos n\ge1. Substituindo a_n(y) obtemos
u(x,y)=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{4}+\sum_{n=1}^\infty a_n(0)\,\frac{\operatorname{sinh}\big(n(2\pi-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2\pi n)}\cos(nx).
Usando explicitamente os a_n(0) (somente termos ímpares não nulos), uma forma conveniente é escrever a soma sobre índices ímpares:
\boxed{\,u(x,y)=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{4}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)^2}\,\frac{\operatorname{sinh}\big((2k+1)(2\pi-y)\big)}{\operatorname{sinh}\big((2k+1)2\pi\big)}\cos\big((2k+1)x\big).\,}
(Na soma o sinal negativo aparece porque a_{2k+1}(0)=-\dfrac{4}{\pi(2k+1)^2}.)
Breve verificação: em y=2\pi todos os \operatorname{sinh}((2k+1)(2\pi-y))=\operatorname{sinh} 0=0 e resta \pi/2 - (2\pi)/4 = \pi/2 - \pi/2 =0 que satisfaz u(x,2\pi)=0. Em y=0 a série reduz à expansão em cossenos de x, recuperando u(x,0)=x. As condições de Neumann em x=0,\pi são satisfeitas por construção (derivada em x de \cos(nx) é -n\sin(nx), zero em 0,\pi).

Passo 8

Como o enunciado pede gráficos (parte b e c), segue código pronto em Python (usando numpy+matplotlib) que gera os dois tipos de gráficos pedidos. O código aproxima a soma infinita truncando a soma em k=0,\dots,K_{\max} (por exemplo K_{\max}=50). Recomenda-se executar num ambiente com Python e estas bibliotecas.
Código Python para gerar os gráficos:
\text{(copiar e colar num arquivo .py ou num notebook Jupyter)}
\begin{aligned} \text{import numpy as np}\\\ \text{import matplotlib.pyplot as plt}\\[4pt] \text{def u_series(x,y,K=50):}\\\ \quad x = np.asarray(x)\\\ \quad y = np.asarray(y)\\\ \quad S = np.full_like(x, \tfrac{\pi}{2}-y/4.0, dtype=float)\\\ \quad \text{for }k \text{ in range(0,K+1):}\\\ \quad\quad n = 2*k+1\\\ \quad\quad coef = -4.0/(np.pi*n**2)\\\ \quad\quad term = coef * \np.sinh(n*(2*np.pi - y))/\np.sinh(2*np.pi*n) * np.cos(n*x)\\\ \quad\quad S += term\\\ \quad \text{return } S\\[4pt] \text{# Parte (b): u vs x para y=0, pi/2, pi}\\\ \text{xv} = np.linspace(0, np.pi, 400)\\\ \text{ys} = [0.0, np.pi/2, np.pi]\\\ \text{plt.figure(figsize=(8,5))}\\\ \text{for y0 in ys:}\\\ \quad \text{plt.plot(xv, u_series(xv, y0, K=60), label=f"y={y0:.3f}")}\\\ \text{plt.xlabel("x")}\\\ \text{plt.ylabel("u(x,y)")}\\\ \text{plt.legend()}\\\ \text{plt.title("u(x,y) vs x for different y (y=0, pi/2, pi)")}\\\ \text{plt.grid(True)}\\\ \text{plt.show()}\\[4pt] \text{# Parte \text{(c)}: u vs y para x=0, pi/2, pi}\\\ \text{yv} = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)\\\ \text{xs} = [0.0, np.pi/2, np.pi]\\\ \text{plt.figure(figsize=(8,5))}\\\ \text{for x0 in xs:}\\\ \quad \text{plt.plot(yv, u_series(x0, yv, K=60), label=f"x={x0:.3f}")}\\\ \text{plt.xlabel("y")}\\\ \text{plt.ylabel("u(x,y)")}\\\ \text{plt.legend()}\\\ \text{plt.title("u(x,y) vs y for different x (x=0, pi/2, pi)")}\\\ \text{plt.grid(True)}\\\ \text{plt.show()} \end{aligned}
Observações práticas:
  • Escolha K em torno de 40 100 para boa precisão; termos de alta frequência decaem como 1/n^2 e também pela razão de \operatorname{sinh}, então a série converge bem.
  • Para y perto de 2\pi a soma é rápida (muitos termos pequenos); para y perto de 0 é onde a série reproduz a forma linear em x.
  • Se usar notebook, coloque o bloco em uma célula e execute; os dois gráficos aparecerão.]

Passo 9

Dicas para a prova (como fazer rápido e sem computador):
  • Identifique rapidamente o tipo de contorno em x: Neumann homogênea sugere usar cossenos.
  • Mode zero ( n=0) corresponde à média em x; resolva por simples interpolação linear em y usando as médias das condições de Dirichlet.
  • Para n\ge1 resolver a ODE a_n''-n^2 a_n=0 e impor a_n(2\pi)=0 e a_n(0) igual ao coeficiente da expansão de x.
  • Calcule \int_0^\pi x\cos(nx)\,dx por partes com cuidado; lembre-se que resulta em \dfrac{(-1)^n-1}{n^2}, o que anula os termos pares.

Resposta

(a) u(x,y)=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{4}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)^2}\,\frac{\operatorname{sinh}\big((2k+1)(2\pi-y)\big)}{\operatorname{sinh}\big((2k+1)2\pi\big)}\cos\big((2k+1)x\big).
(b) Gráficos u versus x para y=0,\;y=\frac{\pi}{2},\;y=\pi gerados pelo código Python fornecido nos passos.
(c) Gráficos u versus y para x=0,\;x=\frac{\pi}{2},\;x=\pi gerados pelo código Python fornecido nos passos.

Exercícios relacionados