f(x) é de suporte compacto: está diferente de zero apenas em [-1,1].
O que se pede é uma representação por integral de Fourier: isto significa escrever f(x) como uma integral envolvendo exponenciais complexas (ou senos e cossenos), usando a transformada de Fourier e a fórmula de inversão.
Não há outras condições (por exemplo, período ou extensão ímpar/par) explicitadas; então usarei a definição usual da transformada e da inversa sobre \mathbb{R}.
Passo 2
Vou definir as fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
Aqui \omega é a frequência (variável de integração no domínio das frequências), t é a variável de integração no domínio do espaço/tempo, e i é a unidade imaginária (i^2=-1).
Isso significa que, uma vez que eu calcule \widehat{f}(\omega), posso reconstruir f(x) por essa integral. Essa é a representação por integral de Fourier na forma exponencial complexa.
Observação didática rápida: para funções reais f tem a propriedade \widehat{f}(-\omega)=\overline{\widehat{f}(\omega)} (conjugado complexo), e a integral inversa pode ser reescrita em termos de senos e cossenos como
Portanto a parte real é \Re\widehat{f}(\omega)=\dfrac{\sin\omega}{\omega} e a parte imaginária é \Im\widehat{f}(\omega)=-\dfrac{3(1-\cos\omega)}{\omega}.
Passo 6
Trato o caso \omega=0 (para garantir continuidade e sentido físico). Pela definição direta,