Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.
f(x)=\left\{\begin{aligned} 0, & x<-1 \\\\ -1, & -1<x<0 \\\\ 2, & 0<x<1 \\\\ 0, & x>1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.” A função dada é, em notação piecewise:
f(x)=\left\{\begin{aligned} 0, &\\ x<-1, \\\\ -1, &\\\ -1<x<0, \\\\ 2, &\\\ 0<x<1, \\\\ 0, &\\ x>1. \end{aligned}\right.
Informações relevantes que já temos:
  • f(x) é de suporte compacto: está diferente de zero apenas em [-1,1].
  • O que se pede é uma representação por integral de Fourier: isto significa escrever f(x) como uma integral envolvendo exponenciais complexas (ou senos e cossenos), usando a transformada de Fourier e a fórmula de inversão.
  • Não há outras condições (por exemplo, período ou extensão ímpar/par) explicitadas; então usarei a definição usual da transformada e da inversa sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Vou definir as fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • A transformada de Fourier de f é definida por
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui \omega é a frequência (variável de integração no domínio das frequências), t é a variável de integração no domínio do espaço/tempo, e i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
  • A fórmula de inversão (convenção usada) é
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Isso significa que, uma vez que eu calcule \widehat{f}(\omega), posso reconstruir f(x) por essa integral. Essa é a representação por integral de Fourier na forma exponencial complexa.
Observação didática rápida: para funções reais f tem a propriedade \widehat{f}(-\omega)=\overline{\widehat{f}(\omega)} (conjugado complexo), e a integral inversa pode ser reescrita em termos de senos e cossenos como
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\Big(\Re\widehat{f}(\omega)\cos(\omega x)-\Im\widehat{f}(\omega)\sin(\omega x)\Big)\,d\omega,
onde \Re e \Im significam parte real e imaginária.

Passo 3

Vou calcular \widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt. Como f(t) é zero fora de [-1,1], a integral reduz-se a dois trechos:
\widehat{f}(\omega)=\int_{-1}^{0}(-1)\,e^{-i\omega t}\,dt+\int_{0}^{1}2\,e^{-i\omega t}\,dt.
Vou calcular cada integral separadamente (considerando primeiro \omega\neq 0; tratamos \omega=0 depois).
Primeira integral:
\int_{-1}^{0}(-1)\,e^{-i\omega t}\,dt=-\int_{-1}^{0} e^{-i\omega t}\,dt.
Usando \int e^{-i\omega t}\,dt=\dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} (para \omega\neq 0), obtemos
-\int_{-1}^{0} e^{-i\omega t}\,dt = -\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=-1}^{t=0} = -\frac{e^{-i\omega\cdot 0}-e^{-i\omega(-1)}}{-i\omega} = -\frac{1-e^{i\omega}}{-i\omega}.
Simplificando sinais:
-\frac{1-e^{i\omega}}{-i\omega}=\frac{1-e^{i\omega}}{i\omega}.

Passo 4

Segunda integral:
\int_{0}^{1}2\,e^{-i\omega t}\,dt = 2\int_{0}^{1} e^{-i\omega t}\,dt = 2\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{0}^{1} =2\frac{e^{-i\omega}-1}{-i\omega}.
Simplificando:
2\frac{e^{-i\omega}-1}{-i\omega} = 2\frac{1-e^{-i\omega}}{i\omega}.

Passo 5

Agora somo as duas contribuições para \widehat{f}(\omega):
\widehat{f}(\omega)=\frac{1-e^{i\omega}}{i\omega}+2\frac{1-e^{-i\omega}}{i\omega} =\frac{1}{i\omega}\big(1-e^{i\omega}+2-2e^{-i\omega}\big).
Agrupando termos:
\widehat{f}(\omega)=\frac{1}{i\omega}\big(3-e^{i\omega}-2e^{-i\omega}\big).
Agora expresso e^{\pm i\omega}=\cos\omega\pm i\sin\omega para separar parte real e imaginária:
3-e^{i\omega}-2e^{-i\omega}=3-(\cos\omega+i\sin\omega)-2(\cos\omega-i\sin\omega) =3-3\cos\omega + i\sin\omega.
Logo
\widehat{f}(\omega)=\frac{3-3\cos\omega+i\sin\omega}{i\omega}.
Separando em parte real e imaginária é conveniente multiplicar por 1/i=-i:
\widehat{f}(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega}-i\,\frac{3(1-\cos\omega)}{\omega}.
Portanto a parte real é \Re\widehat{f}(\omega)=\dfrac{\sin\omega}{\omega} e a parte imaginária é \Im\widehat{f}(\omega)=-\dfrac{3(1-\cos\omega)}{\omega}.

Passo 6

Trato o caso \omega=0 (para garantir continuidade e sentido físico). Pela definição direta,
\widehat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt=\int_{-1}^{0}(-1)\,dt+\int_{0}^{1}2\,dt = (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = 1.
Verificação pelo limite \omega\to 0 da expressão encontrada:
\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin\omega}{\omega}=1,\qquad \lim_{\omega\to 0}\frac{3(1-\cos\omega)}{\omega}=0,
portanto \widehat{f}(\omega)\to 1 quando \omega\to 0, concordando com \widehat{f}(0)=1.

Passo 7

Agora escrevo a representação por integral de Fourier usando a fórmula de inversão (forma complexa exponencial):
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega,
com
\widehat{f}(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega}-i\frac{3(1-\cos\omega)}{\omega}.
Esta é uma forma válida e completa da representação por integral de Fourier.

Passo 8

Alternativamente, como f é real, é comum e útil escrever a representação em termos de senos e cossenos (parte real e imaginária), usando a relação
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\Big(\Re\widehat{f}(\omega)\cos(\omega x)-\Im\widehat{f}(\omega)\sin(\omega x)\Big)\,d\omega.
Substituindo \Re\widehat{f}(\omega)=\dfrac{\sin\omega}{\omega} e \Im\widehat{f}(\omega)=-\dfrac{3(1-\cos\omega)}{\omega} obtemos a forma real:
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\sin\omega}{\omega}\cos(\omega x)+\frac{3(1-\cos\omega)}{\omega}\sin(\omega x)\right)\,d\omega.
Essa é a representação por integral de Fourier em termos reais (seno/cosseno) e às vezes é mais prática para avaliar valores reais de f(x).

Resposta

\widehat{f}(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega}-i\frac{3(1-\cos\omega)}{\omega}, \qquad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
\text{Forma real (seno/cosseno):}\qquad f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\sin\omega}{\omega}\cos(\omega x)+\frac{3(1-\cos\omega)}{\omega}\sin(\omega x)\right)\,d\omega.

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