Determine as representações por integral do co-seno e do seno da função indicada.
f(x)=x e^{-2 x}, x>0

Passo 1

O enunciado pede as representações por integral “do co-seno e do seno” da função definida por f(x)=x e^{-2x} para x>0.
As perguntas a responder são:
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\cos(\omega x)\,dx.
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\sin(\omega x)\,dx.
Vou manter \omega como a variável de frequência (pode ser k ou outro símbolo, aqui uso \omega).

Passo 2

Estratégia: é muito prático usar a exponencial complexa para juntar cosseno e seno. Considere a integral complexa
I(\omega)=\int_{0}^{\infty} x e^{-2x} e^{i\omega x}\,dx=\int_{0}^{\infty} x e^{-(2-i\omega)x}\,dx.
As integrais com cosseno e seno aparecem como parte real e imaginária de I(\omega):
\int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\cos(\omega x)\,dx=\Re\big(I(\omega)\big), \qquad \int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\sin(\omega x)\,dx=\Im\big(I(\omega)\big).

Passo 3

Preciso calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx para \Re(s)>0. Uma maneira limpa é usar a integral geométrica e derivação:
\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx=\frac{1}{s}\quad(\Re(s)>0).
Diferenciando em relação a s (e lembrando do sinal),
-\frac{d}{ds}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx\right)=\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx = \frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s}\right)\cdot(-1)=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto, para \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Aplicando isso em I(\omega) com s=2-i\omega (note que \Re(s)=2>0), obtemos
I(\omega)=\frac{1}{(2-i\omega)^{2}}.
Para extrair parte real e imaginária, escrevemos (2-i\omega)^{-2} usando o conjugado:
\frac{1}{(2-i\omega)^{2}}=\frac{(2+i\omega)^{2}}{(2-i\omega)^{2}(2+i\omega)^{2}}=\frac{(2+i\omega)^{2}}{(4+\omega^{2})^{2}}.
Expandindo o numerador:
(2+i\omega)^{2}=4+4i\omega-(\omega)^{2}=(4-\omega^{2})+4i\omega.
Logo
I(\omega)=\frac{(4-\omega^{2})+4i\omega}{(4+\omega^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora leio partes real e imaginária:
\Re\big(I(\omega)\big)=\frac{4-\omega^{2}}{(4+\omega^{2})^{2}}, \qquad \Im\big(I(\omega)\big)=\frac{4\omega}{(4+\omega^{2})^{2}}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\cos(\omega x)\,dx=\frac{4-\omega^{2}}{(4+\omega^{2})^{2}},
\int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\sin(\omega x)\,dx=\frac{4\omega}{(4+\omega^{2})^{2}}.

Passo 6

(Verificação alternativa curta — método útil em prova)
Sabe-se que, para a>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\cos(\omega x)\,dx=\frac{a}{a^{2}+\omega^{2}}, \qquad \int_{0}^{\infty} e^{-a x}\sin(\omega x)\,dx=\frac{\omega}{a^{2}+\omega^{2}}.
Diferenciando essas fórmulas em a (e usando -\partial/\partial a para trazer um fator x para dentro da integral) dá exatamente as expressões obtidas acima quando a=2. Isso confirma os resultados.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\cos(\omega x)\,dx=\frac{4-\omega^{2}}{(4+\omega^{2})^{2}}
\displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\sin(\omega x)\,dx=\frac{4\omega}{(4+\omega^{2})^{2}}

Exercícios relacionados