Determine as representações por integral do co-seno e do seno da função indicada.
Passo 1
O enunciado pede as representações por integral “do co-seno e do seno” da função definida por
para
.
As perguntas a responder são:
- Calcular
. - Calcular
.
Vou manter
como a variável de frequência (pode ser
ou outro símbolo, aqui uso
).
Passo 2
Estratégia: é muito prático usar a exponencial complexa para juntar cosseno e seno. Considere a integral complexa
As integrais com cosseno e seno aparecem como parte real e imaginária de
:
Passo 3
Preciso calcular
para
. Uma maneira limpa é usar a integral geométrica e derivação:
Diferenciando em relação a
(e lembrando do sinal),
Portanto, para
,
Passo 4
Aplicando isso em
com
(note que
), obtemos
Para extrair parte real e imaginária, escrevemos
usando o conjugado:
Expandindo o numerador:
Logo
Passo 5
Agora leio partes real e imaginária:
Portanto
Passo 6
(Verificação alternativa curta — método útil em prova)
Sabe-se que, para ,
Sabe-se que, para
Diferenciando essas fórmulas em
(e usando
para trazer um fator
para dentro da integral) dá exatamente as expressões obtidas acima quando
. Isso confirma os resultados.