Determine uma representaçăo parametrizada para a superficie.
A parte do hiperboloide
que está abaixo do retângulo
A parte do hiperboloide
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma representação parametrizada para uma parte da superfície definida pela equação do hiperboloide
. Especificamente, queremos a parte dessa superfície que está abaixo do retângulo com as coordenadas
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e manipulação de equações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do hiperboloide para expressar
em termos de
e
. A equação dada é:
Podemos isolar
:
Passo 3
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Aqui, consideramos apenas a parte positiva da raiz porque estamos interessados na parte da superfície que está abaixo do retângulo, o que implica valores positivos de
.
Passo 4
Para parametrizar a superfície, escolhemos
e
como parâmetros. Assim, podemos definir:
Onde
varia de
a
e
varia de
a
, conforme o retângulo dado.
Passo 5
Portanto, a representação parametrizada da parte do hiperboloide
que está abaixo do retângulo
é:
Resposta
A representação parametrizada é: