Determine uma representaçăo parametrizada para a superficie.
A parte do hiperboloide -x^2 - y^2 + z^2 = 1 que está abaixo do retângulo [-1,1] x [-3,3]

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma representação parametrizada para uma parte da superfície definida pela equação do hiperboloide . Especificamente, queremos a parte dessa superfície que está abaixo do retângulo com as coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e manipulação de equações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do hiperboloide para expressar z em termos de x e y. A equação dada é:
Podemos isolar z^2:

Passo 3

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar z:
Aqui, consideramos apenas a parte positiva da raiz porque estamos interessados na parte da superfície que está abaixo do retângulo, o que implica valores positivos de z.

Passo 4

Para parametrizar a superfície, escolhemos x e y como parâmetros. Assim, podemos definir:
Onde u varia de -1 a 1 e v varia de a , conforme o retângulo dado.

Passo 5

Portanto, a representação parametrizada da parte do hiperboloide que está abaixo do retângulo é:

Resposta

A representação parametrizada é:

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