(8) Verifique se o Teorema de Picard garante a unicidade de solução para a equação diferencial
, passando pelo ponto:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o Teorema de Picard garante a unicidade da solução para a equação diferencial
que passa pelo ponto
. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e condições de unicidade.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Picard diz que se a função
e a sua derivada parcial em relação a
,
, forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial
, então existe uma solução única para a equação diferencial nesse ponto.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos verificar se
é contínua perto do ponto
. Para isso, precisamos que o que está dentro da raiz,
, seja não-negativo. Como
, temos
, que é positivo. Então,
é contínua perto de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Queremos verificar se essa derivada também é contínua perto de
.
Passo 5
No ponto
, substituindo
na derivada, temos:
Esse valor é bem definido e contínuo. Além disso, para valores de
próximos a 4, o denominador
continua sendo positivo e diferente de zero, garantindo a continuidade da derivada.
Resposta
Sim, o Teorema de Picard garante a unicidade da solução da equação diferencial
que passa pelo ponto
.