Determine uma representaçăo parametrizada para a superficie.
A parte do hiperboloide eliptico que está a direita do plano
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma representação parametrizada da parte do hiperboloide elíptico dado por que está à direita do plano . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com superfícies quadricas. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície e identificar a região que está à direita do plano .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar à direita do plano . O plano é definido por . Estar à direita desse plano geralmente significa que (considerando uma orientação padrão dos eixos). Portanto, vamos trabalhar apenas com os pontos onde .
Passo 3
Vamos reescrever a equação do hiperboloide para facilitar a parametrização:
Para parametrizar essa superfície, podemos escolher duas variáveis livres, por exemplo, e , e expressar em termos dessas variáveis. Assim, nossos parâmetros serão e .
Passo 4
A partir da equação, já temos em função de e . Portanto, a parametriza��ão pode ser definida como:
onde e são parâmetros que variam de acordo com as restrições da superfície.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que estamos considerando apenas a parte à direita do plano , ou seja, . Então, substituindo na inequação:
Isso nos dá a região de e que devemos considerar para a parametrização.
Passo 6
Vamos resolver a inequação:
Essa é a equação de uma elipse no plano , que define os limites para os parâmetros.
Resposta
A representação parametrizada da parte do hiperboloide elíptico que está à direita do plano é dada por: