Determine e represente no plano de Argand as raizes
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar as raízes complexas
tais que , isto é, os números complexos que satisfazem . - Representar essas raízes no plano de Argand (ou seja, dar suas coordenadas e indicar onde ficam no plano complexo).
Informações dadas:
- O número complexo cuja raiz queremos é
.
Passo 2
Vou explicar o método principal (polar) e depois mostrar um método algébrico alternativo (resolvendo para as partes real e imaginária). Ideia-chave do método polar (que é o mais direto para radiciação de complexos):
- Se
com e , então as raízes quadradas são
Aqui
é a raiz positiva do módulo e
é metade do argumento principal (podem aparecer duas raízes que diferem por sinal, ou, em polar, por
no ângulo). Vou aplicar isso passo a passo e depois mostrar como converter para forma
para poder desenhar no plano.
Passo 3
Calcular módulo e argumento de
.
- Escrevo
. - Módulo:
- Argumento: como as coordenadas são
e , o ponto está no primeiro quadrante e . Então
Portanto em forma polar
Passo 4
Aplicar a fórmula das raízes quadradas em polar.
- A raiz do módulo é
. - A metade do argumento é
.
Logo as duas raízes são
Isto já dá a localização angular e o módulo de cada raiz no plano de Argand: uma raiz tem módulo
e argumento
; a outra é o seu oposto (módulo igual, argumento
).
Passo 5
Converter para forma retangular
(para poder representar as coordenadas no plano). Uso a identidade trigonométrica de meia-ângulo para
e
.
- Primeiro, escrevo
- As fórmulas de meia-ângulo (com
) dão
- Multiplicando pelo módulo
obtemos as componentes:
Passo 6
Simplificar as expressões de
e
em radicais mais agradáveis (mostrar que coincidem com o método algébrico que vem a seguir).
- Calculo
:
Portanto
- Calculo
usando :
logo
Assim a forma retangular de uma das raízes (a com partes positivas) é
A outra raiz é o seu oposto:
Passo 7
Verificação rápida pelo método algébrico (para ganhar confiança na resposta):
- Suponha
e imponha . Então
Da segunda equação
. Substituindo na primeira e resolvendo para
obtém-se
que leva a
(única raiz positiva admissível). Isso casou exatamente com o valor encontrado no passo anterior; e então
. Os sinais são consistentes com
:
e
têm o mesmo sinal numa raiz e sinais opostos na outra (ou seja as duas raízes são
).
Passo 8
Como representar no plano de Argand:
- Coordenadas da primeira raiz:
. - Coordenadas da segunda raiz: o ponto oposto
. - Em termos de ângulo e módulo: uma raiz tem módulo
e argumento ; a outra tem o mesmo módulo e argumento . - Aproximações numéricas úteis para desenhar:
e .