Determine e represente no plano de Argand as raizes w=\sqrt{3+3 i}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar as raízes complexas w tais que w=\sqrt{3+3i}, isto é, os números complexos w que satisfazem w^2=3+3i.
  • Representar essas raízes no plano de Argand (ou seja, dar suas coordenadas e indicar onde ficam no plano complexo).
Informações dadas:
  • O número complexo cuja raiz queremos é z=3+3i.

Passo 2

Vou explicar o método principal (polar) e depois mostrar um método algébrico alternativo (resolvendo para as partes real e imaginária). Ideia-chave do método polar (que é o mais direto para radiciação de complexos):
  • Se z=r_0 e^{i\theta_0} com r_0=|z| e \theta_0=\arg(z), então as raízes quadradas são
w=\pm \sqrt{r_0}\,e^{i\theta_0/2}.
Aqui \sqrt{r_0} é a raiz positiva do módulo e \theta_0/2 é metade do argumento principal (podem aparecer duas raízes que diferem por sinal, ou, em polar, por \pi no ângulo). Vou aplicar isso passo a passo e depois mostrar como converter para forma a+ib para poder desenhar no plano.

Passo 3

Calcular módulo e argumento de z=3+3i.
  • Escrevo z=3(1+i).
  • Módulo:
|z|=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
  • Argumento: como as coordenadas são x=3>0 e y=3>0, o ponto está no primeiro quadrante e \arg(1+i)=\pi/4. Então
\arg(z)=\frac{\pi}{4}.
Portanto em forma polar
z = 3\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.

Passo 4

Aplicar a fórmula das raízes quadradas em polar.
  • A raiz do módulo é \sqrt{|z|}=\sqrt{3\sqrt{2}}.
  • A metade do argumento é \dfrac{\pi}{8}.
    Logo as duas raízes são
w=\pm \sqrt{3\sqrt{2}}\,e^{i\pi/8}.
Isto já dá a localização angular e o módulo de cada raiz no plano de Argand: uma raiz tem módulo \sqrt{3\sqrt{2}} e argumento \pi/8; a outra é o seu oposto (módulo igual, argumento \pi/8+\pi).

Passo 5

Converter para forma retangular a+ib (para poder representar as coordenadas no plano). Uso a identidade trigonométrica de meia-ângulo para \cos(\pi/8) e \sin(\pi/8).
  • Primeiro, escrevo
w=\pm \sqrt{3\sqrt{2}}\big(\cos(\tfrac{\pi}{8})+i\sin(\tfrac{\pi}{8})\big).
  • As fórmulas de meia-ângulo (com \cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}) dão
\cos\Big(\tfrac{\pi}{8}\Big)=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},
\sin\Big(\tfrac{\pi}{8}\Big)=\sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt{\frac{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
  • Multiplicando pelo módulo \sqrt{3\sqrt{2}} obtemos as componentes:
a=\sqrt{3\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},\qquad b=\sqrt{3\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

Passo 6

Simplificar as expressões de a e b em radicais mais agradáveis (mostrar que coincidem com o método algébrico que vem a seguir).
  • Calculo a^2:
a^2=\big(\sqrt{3\sqrt{2}}\big)^2\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{4}=(3\sqrt{2})\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{4} =\frac{3(2\sqrt{2}+2)}{4}=\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}.
Portanto
a=\sqrt{\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}} \quad(\text{escolhendo o sinal positivo para a raiz com }a>0).
  • Calculo b^2 usando b^2=(\sqrt{3\sqrt{2}})^2\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{4}:
b^2=(3\sqrt{2})\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{4}=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2},
logo
b=\sqrt{\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}.
Assim a forma retangular de uma das raízes (a com partes positivas) é
w_1=\sqrt{\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}} \;+\; i\sqrt{\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}.
A outra raiz é o seu oposto:
w_2=-\sqrt{\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}} \;-\; i\sqrt{\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}.

Passo 7

Verificação rápida pelo método algébrico (para ganhar confiança na resposta):
  • Suponha w=a+ib e imponha (a+ib)^2=3+3i. Então
a^2-b^2=3,\qquad 2ab=3.
Da segunda equação b=\dfrac{3}{2a}. Substituindo na primeira e resolvendo para a^2 obtém-se
4a^4-12a^2-9=0,
que leva a
a^2=\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}
(única raiz positiva admissível). Isso casou exatamente com o valor encontrado no passo anterior; e então b^2=\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{2}. Os sinais são consistentes com 2ab=3>0: a e b têm o mesmo sinal numa raiz e sinais opostos na outra (ou seja as duas raízes são \pm(a+ib)).

Passo 8

Como representar no plano de Argand:
  • Coordenadas da primeira raiz: \Big(\sqrt{\dfrac{3(1+\sqrt{2})}{2}},\\ \sqrt{\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}\Big).
  • Coordenadas da segunda raiz: o ponto oposto \Big(-\sqrt{\dfrac{3(1+\sqrt{2})}{2}},\\\ -\sqrt{\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}\Big).
  • Em termos de ângulo e módulo: uma raiz tem módulo \sqrt{3\sqrt{2}} e argumento \dfrac{\pi}{8}; a outra tem o mesmo módulo e argumento \dfrac{\pi}{8}+\pi.
  • Aproximações numéricas úteis para desenhar: w_1\approx 1{,}9024+0{,}7883i e w_2\approx -1{,}9024-0{,}7883i.

Resposta

w_1=\sqrt{3\sqrt{2}}\,e^{i\pi/8} =\sqrt{\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}}+i\sqrt{\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}
w_2=-\sqrt{3\sqrt{2}}\,e^{i\pi/8} =-\sqrt{\frac{3(1+\sqrt{2})}{2}}-i\sqrt{\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}}

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