Determine e represente no plano de Argand as raizes w=\sqrt[4]{3 i}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá\n
  • Pede: determinar as raízes quarta de 3i, ou seja todos os números complexos w tais que w^{4}=3i.
  • Pede também: representar essas raízes no plano de Argand (ou seja, como pontos no plano complexo).
  • Informação dada: o número complexo cujo radical queremos é 3i.

Passo 2

Primeiro vamos escrever 3i em forma polar (ou trigonométrica). Isso facilita muito para extrair raízes. Vou te explicar o que é e como fazer.\n
  • Módulo: para um complexo z=x+iy, o módulo é |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui z=3i tem x=0 e y=3, logo
|3i|=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=3.
  • Argumento: o argumento \theta é o ângulo que o vetor que representa z faz com o eixo real positivo. Para 3i (eixo imaginário positivo) o argumento principal é
\theta=\frac{\pi}{2}.
  • Portanto, em forma polar (usando a notação r(\cos\theta+i\sin\theta) ou re^{i\theta}),
3i = 3\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big) = 3e^{i\pi/2}.
(Atenção: o argumento pode ser adicionado de 2\pi n, isto é, \theta=\pi/2+2\pi n, mas isso será considerado na fórmula das raízes.)

Passo 3

Agora a ideia geral para encontrar as raízes n-ésimas: se
z=r e^{i\theta},
então as n raízes w tais que w^{n}=z são dadas por
w_{k}=r^{1/n} e^{i(\theta+2k\pi)/n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicando a fórmula (mini-aula):
  • r^{1/n} é a raiz real do módulo — se |z|=r, então a raiz tem módulo |w|=r^{1/n}.
  • Os argumentos possíveis são (\theta+2k\pi)/n porque ao elevar w a n multiplicamos o argumento por n; portanto precisamos distribuir os 2\pi de periodicidade entre as n raízes, obtendo n ângulos igualmente espaçados.
  • As variáveis: r é o módulo de z, \theta um argumento de z, n o índice da raiz, k indexa as raízes distintas.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com r=3, \theta=\pi/2 e n=4:\n
  • O módulo das raízes será
|w|=3^{1/4}.
  • Os argumentos são
\frac{\theta+2k\pi}{4}=\frac{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi}{4}=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k=0,1,2,3.
Logo as quatro raízes são
w_{k}=3^{1/4}\,e^{i(\pi/8+k\pi/2)} =3^{1/4}\big(\cos(\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2})+i\sin(\tfrac{\pi{8}}+k\tfrac{\pi}{2})\big), \quad k=0,1,2,3.

Passo 5

Vou escrever explicitamente as quatro raízes em forma trigonométrica e em forma retangular (exata usando radicais). Primeiro defino
c=\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},\qquad s=\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
Esses valores vêm da fórmula de meia-ângulo: \cos(\tfrac{\alpha}{2})=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}, usando \alpha=\tfrac{\pi}{4}.\n
Agora as raízes (usando c,s):\n
  • Para k=0:
w_{0}=3^{1/4}\big(c+i s\big).
  • Para k=1 (note que acrescentar \tfrac{\pi}{2} multiplica por i, então w_{1}=i w_{0}):
w_{1}=3^{1/4}\big(-s + i c\big).
  • Para k=2 (duas rotações de \tfrac{\pi}{2}; w_{2}=-w_{0}):
w_{2}=3^{1/4}\big(-c - i s\big).
  • Para k=3 (três rotações; w_{3}=-i w_{0}):
w_{3}=3^{1/4}\big(s - i c\big).
Substituindo c e s em termos de radicais, por exemplo
w_{0}=3^{1/4}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right),
e as outras seguem pelas fórmulas acima.

Passo 6

Números aproximados (úteis para desenhar no plano de Argand):\n
  • 3^{1/4}\approx 1{,}316074.
  • \cos\frac{\pi}{8}\approx 0{,}923880, \sin\frac{\pi}{8}\approx 0{,}382683.\n
    Logo aproximadamente
w_{0}\approx 1{,}216 + 0{,}503\,i, \quad w_{1}\approx -0{,}503 + 1{,}216\,i,
w_{2}\approx -1{,}216 - 0{,}503\,i, \quad w_{3}\approx 0{,}503 - 1{,}216\,i.

Passo 7

Como representar no plano de Argand (como desenhar passo a passo):\n
  • Trace uma circunferência centrada na origem com raio 3^{1/4}. As quatro raízes ficam exatamente sobre essa circunferência.
  • Os ângulos (a partir do eixo real positivo, no sentido anti-horário) são \tfrac{\pi}{8}, \tfrac{\pi}{8}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{5\pi}{8}, \tfrac{9\pi}{8} e \tfrac{13\pi}{8} (equivalente a \tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2}).
  • Os pontos estão igualmente espaçados, com separação angular \tfrac{\pi}{2} (ou seja, a cada etapa gira-se 90^\circ). Uma forma prática: colocar w_{0} em ângulo \tfrac{\pi}{8} e depois obter os outros girando por 90^\circ sucessivamente (multiplicando por i).\n
    Vai dar uma cruz em diagonal — coisas simétricas, bem bonito — e você consegue desenhar com os valores aproximados que dei.

Resposta

w_{k}=3^{1/4}\big(\cos(\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2})+i\sin(\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2})\big), \qquad k=0,1,2,3.
\text{Equivalente (formas retangulares exatas):}
w_{0}=3^{1/4}\!\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right),
w_{1}=3^{1/4}\!\left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right),
w_{2}=3^{1/4}\!\left(-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right),
w_{3}=3^{1/4}\!\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}-i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right).

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