Determine e represente no plano de Argand as raizes
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá\n
- Pede: determinar as raízes quarta de
, ou seja todos os números complexos tais que . - Pede também: representar essas raízes no plano de Argand (ou seja, como pontos no plano complexo).
- Informação dada: o número complexo cujo radical queremos é
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em forma polar (ou trigonométrica). Isso facilita muito para extrair raízes. Vou te explicar o que é e como fazer.\n
- Módulo: para um complexo
, o módulo é . Aqui tem e , logo
- Argumento: o argumento
é o ângulo que o vetor que representa faz com o eixo real positivo. Para (eixo imaginário positivo) o argumento principal é
- Portanto, em forma polar (usando a notação
ou ),
(Atenção: o argumento pode ser adicionado de
, isto é,
, mas isso será considerado na fórmula das raízes.)
Passo 3
Agora a ideia geral para encontrar as raízes
-ésimas: se
então as
raízes
tais que
são dadas por
Explicando a fórmula (mini-aula):
-
é a raiz real do módulo — se , então a raiz tem módulo . - Os argumentos possíveis são
porque ao elevar a multiplicamos o argumento por ; portanto precisamos distribuir os de periodicidade entre as raízes, obtendo ângulos igualmente espaçados. - As variáveis:
é o módulo de , um argumento de , o índice da raiz, indexa as raízes distintas.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
e
:\n
- O módulo das raízes será
- Os argumentos são
Logo as quatro raízes são
Passo 5
Vou escrever explicitamente as quatro raízes em forma trigonométrica e em forma retangular (exata usando radicais). Primeiro defino
Esses valores vêm da fórmula de meia-ângulo:
, usando
.\n
Agora as raízes (usando ):\n
Agora as raízes (usando
- Para
:
- Para
(note que acrescentar multiplica por , então ):
- Para
(duas rotações de ; ):
- Para
(três rotações; ):
Substituindo
e
em termos de radicais, por exemplo
e as outras seguem pelas fórmulas acima.
Passo 6
Números aproximados (úteis para desenhar no plano de Argand):\n
-
. -
, .\n
Logo aproximadamente
Passo 7
Como representar no plano de Argand (como desenhar passo a passo):\n
- Trace uma circunferência centrada na origem com raio
. As quatro raízes ficam exatamente sobre essa circunferência. - Os ângulos (a partir do eixo real positivo, no sentido anti-horário) são
, , e (equivalente a ). - Os pontos estão igualmente espaçados, com separação angular
(ou seja, a cada etapa gira-se ). Uma forma prática: colocar em ângulo e depois obter os outros girando por sucessivamente (multiplicando por ).\n
Vai dar uma cruz em diagonal — coisas simétricas, bem bonito — e você consegue desenhar com os valores aproximados que dei.