Se z=3\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right), determine o conjugado de z^{3}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=3\Big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Big).
O que se pede: determinar o conjugado de z^{3}, ou seja \overline{\,z^{3}\,}.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • o módulo de z é 3;
  • o argumento de z é \dfrac{\pi}{4}.

Passo 2

Antes de calcular, vamos rever conceitos úteis (explicados passo a passo):
  1. Forma polar: qualquer número complexo pode ser escrito como
z=r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
onde r\ge0 é o módulo e \theta é o argumento. No enunciado já temos r=3 e \theta=\dfrac{\pi}{4}.
  1. Teorema de De Moivre: para inteiro n,
\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^{n}=r^{n}\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big).
O que isso faz na prática: ele permite elevar facilmente um complexo em forma polar — basta elevar o módulo e multiplicar o argumento por n.
  1. Conjugado em forma polar: se z=r(\cos\theta+i\sin\theta), então o conjugado é
\overline{z}=r(\cos\theta-i\sin\theta).
Observação útil (propriedade): a conjugação preserva produto e potência, logo
\overline{z^{n}}=\overline{z}^{\,n}.
Explicando por que isso é verdade: a conjugação transforma a+ib em a-ib, e para dois complexos u,v vale \overline{u v}=\overline{u}\,\overline{v}; aplicando isso repetidamente obtemos \overline{z^{n}}=\overline{z}^{\,n}.

Passo 3

Calcular z^{3} usando De Moivre. Aqui r=3 e \theta=\dfrac{\pi}{4}, então com n=3:
z^{3}=3^{3}\Big(\cos\big(3\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)+i\sin\big(3\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)\Big).
Portanto
z^{3}=27\Big(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Big).

Passo 4

Agora o conjugado de z^{3}. Podemos usar diretamente a definição do conjugado sobre o resultado do passo anterior:
\overline{\,z^{3}\,}=27\Big(\cos\frac{3\pi}{4}-i\sin\frac{3\pi}{4}\Big).
Também é válido escrever isso como
\overline{\,z^{3}\,}=27\Big(\cos\big(-\tfrac{3\pi}{4}\big)+i\sin\big(-\tfrac{3\pi}{4}\big)\Big),
pois \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.

Passo 5

Se quiser a forma cartesiana a+ib, calculamos \cos\frac{3\pi}{4} e \sin\frac{3\pi}{4}. Sabendo os valores conhecidos no círculo trigonométrico:
\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=+\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo em \overline{z^{3}}:
\overline{\,z^{3}\,}=27\Big(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\Big) = \frac{27\sqrt{2}}{2}\,(-1 - i).
Ou escrevendo separadamente as partes real e imaginária:
\overline{\,z^{3}\,}= -\frac{27\sqrt{2}}{2} \;-\; i\,\frac{27\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \overline{\,z^{3}\,}=27\Big(\cos\frac{3\pi}{4}-i\sin\frac{3\pi}{4}\Big)=\frac{27\sqrt{2}}{2}(-1-i)

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