Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o resíduo de
no ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se pede o resíduo é
.
Passo 2
Entender o que é o resíduo: o resíduo de uma função
em uma singularidade isolada
é o coeficiente
da série de Laurent de
centrada em
:
onde
.
Também existe uma fórmula prática quando
é um polo de ordem
(ou seja, a singularidade é do tipo
multiplicada por uma função holomorfa não nula em
):
Aqui:
-
é a ordem do polo, -
é o ponto singular (aqui ), - a derivada
é a derivada de ordem .
Passo 3
Identificar a ordem da singularidade em
. Como
o fator
no denominador mostra que
é um polo de ordem
(é um polo duplo).
Passo 4
Aplicar a fórmula para polo de ordem
. Substituindo
e
na fórmula:
Calcule o interior:
A derivada em relação a
de
é
:
Portanto o limite é
e
Passo 5
Observação alternativa (rápida e intuitiva): a série de Laurent de
em torno de
é simplesmente
ou seja, o coeficiente de
é
e o coeficiente de
é
. Como o resíduo é exatamente o coeficiente de
, novamente obtemos
.