Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}} em z=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o resíduo de f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^{2}} no ponto z=1.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^{2}}.
  • O ponto onde se pede o resíduo é z=1.

Passo 2

Entender o que é o resíduo: o resíduo de uma função f em uma singularidade isolada z_{0} é o coeficiente a_{-1} da série de Laurent de f centrada em z_{0}:
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n},
onde \operatorname{Res}(f,z_{0})=a_{-1}.
Também existe uma fórmula prática quando z_{0} é um polo de ordem m (ou seja, a singularidade é do tipo (z-z_{0})^{-m} multiplicada por uma função holomorfa não nula em z_{0}):
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\left[(z-z_{0})^{m}f(z)\right].
Aqui:
  • m é a ordem do polo,
  • z_{0} é o ponto singular (aqui z_{0}=1),
  • a derivada d^{\,m-1}/dz^{\,m-1} é a derivada de ordem m-1.

Passo 3

Identificar a ordem da singularidade em z=1. Como
f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}},
o fator (z-1)^{2} no denominador mostra que z=1 é um polo de ordem m=2 (é um polo duplo).

Passo 4

Aplicar a fórmula para polo de ordem m=2. Substituindo m=2 e z_{0}=1 na fórmula:
\operatorname{Res}\bigl(f,1\bigr)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\left[(z-1)^{2}f(z)\right].
Calcule o interior:
(z-1)^{2}f(z)=(z-1)^{2}\cdot\frac{1}{(z-1)^{2}}=1.
A derivada em relação a z de 1 é 0:
\frac{d}{dz}\bigl(1\bigr)=0.
Portanto o limite é 0 e
\operatorname{Res}\bigl(f,1\bigr)=0.

Passo 5

Observação alternativa (rápida e intuitiva): a série de Laurent de f em torno de z=1 é simplesmente
f(z)=(z-1)^{-2},
ou seja, o coeficiente de (z-1)^{-2} é 1 e o coeficiente de (z-1)^{-1} é 0. Como o resíduo é exatamente o coeficiente de (z-1)^{-1}, novamente obtemos 0.

Resposta

0

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