Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
f(z)=\frac{z}{z^{2}-1} em z=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{z}{z^{2}-1}
e pede o resíduo de f no ponto z=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios.
  • O ponto onde queremos o resíduo é z_0=1.
  • Não há outras informações adicionais.

Passo 2

O que é o resíduo? Vou explicar bem devagar. Para uma função complexa f(z) que tem uma singularidade isolada em z_0, o resíduo \operatorname{Res}(f,z_0) é o coeficiente do termo (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent de f em torno de z_0. Em símbolos, se
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n
para |z-z_0| pequeno, então
\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}.
Essa é a definição. Na prática há fórmulas práticas quando a singularidade é um pólo simples (grau 1), que é o caso mais comum em provas.

Passo 3

Identificar o tipo de singularidade em z=1 para f(z)=\dfrac{z}{z^{2}-1}.
Fatorizando o denominador:
z^{2}-1=(z-1)(z+1).
No ponto z=1 o denominador se anula porque tem um fator z-1. Como o fator aparece apenas uma vez (grau 1) e o numerador z em z=1 não é zero (é 1), a singularidade em z=1 é um pólo simples (ou pólo de ordem 1). Uma forma de verificar isso é checar a derivada do denominador: se h(z)=z^2-1 então h'(z)=2z e h'(1)=2\neq 0, o que garante pólo simples. Pólo simples é ótimo porque há uma fórmula direta do resíduo.

Passo 4

Fórmula prática para pólo simples e sua justificativa curta.
Se z_0 é pólo simples de f, então
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0} (z-z_0)\,f(z).
Intuição rápida: multiplicando f por (z-z_0) elimina o termo (z-z_0)^{-1} e os demais termos da série de Laurent se tornam regulares; tomando o limite extraímos justamente o coeficiente a_{-1}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do limite ao nosso caso.
Calculemos
\lim_{z\to 1} (z-1)\frac{z}{z^{2}-1}.
Simplificamos a expressão antes de tomar o limite:
(z-1)\frac{z}{z^{2}-1}=(z-1)\frac{z}{(z-1)(z+1)}=\frac{z}{z+1}.
Agora tomamos o limite z\to 1:
\lim_{z\to 1}\frac{z}{z+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto, pelo método do limite, o resíduo é \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Apresento uma outra forma (útil em provas) que dá o mesmo resultado e às vezes é mais rápida: se f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)} com g e h analíticas em z_0, h(z_0)=0 e h'(z_0)\neq0, então z_0 é pólo simples e
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
No nosso caso g(z)=z e h(z)=z^{2}-1. Calculando:
g(1)=1,\qquad h'(z)=2z,\qquad h'(1)=2,
logo
\operatorname{Res}(f,1)=\frac{g(1)}{h'(1)}=\frac{1}{2},
igual ao que já encontramos.

Passo 7

(se quiser ver por Laurent: uma verificação rápida) Tomando w=z-1 pequeno, z=1+w, então
z^{2}-1=(1+w)^{2}-1=2w+w^{2}=w(2+w),
e
\frac{z}{z^{2}-1}=\frac{1+w}{w(2+w)}=\frac{1}{w}\cdot\frac{1+w}{2+w}.
Expandindo a parte regular em série em w mostra que o coeficiente de 1/w é \tfrac{1}{2}. É só uma confirmação extra.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados