Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o resíduo de
no ponto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma razão de polinômios.
- O ponto onde queremos o resíduo é
. - Não há outras informações adicionais.
Passo 2
O que é o resíduo? Vou explicar bem devagar. Para uma função complexa
que tem uma singularidade isolada em
, o resíduo
é o coeficiente do termo
na expansão de Laurent de
em torno de
. Em símbolos, se
para
pequeno, então
Essa é a definição. Na prática há fórmulas práticas quando a singularidade é um pólo simples (grau 1), que é o caso mais comum em provas.
Passo 3
Identificar o tipo de singularidade em
para
.
Fatorizando o denominador:
No ponto
o denominador se anula porque tem um fator
. Como o fator aparece apenas uma vez (grau 1) e o numerador
em
não é zero (é
), a singularidade em
é um pólo simples (ou pólo de ordem
). Uma forma de verificar isso é checar a derivada do denominador: se
então
e
, o que garante pólo simples. Pólo simples é ótimo porque há uma fórmula direta do resíduo.
Passo 4
Fórmula prática para pólo simples e sua justificativa curta.
Se
é pólo simples de
, então
Intuição rápida: multiplicando
por
elimina o termo
e os demais termos da série de Laurent se tornam regulares; tomando o limite extraímos justamente o coeficiente
.
Passo 5
Aplicar a fórmula do limite ao nosso caso.
Calculemos
Simplificamos a expressão antes de tomar o limite:
Agora tomamos o limite
:
Portanto, pelo método do limite, o resíduo é
.
Passo 6
Apresento uma outra forma (útil em provas) que dá o mesmo resultado e às vezes é mais rápida: se
com
e
analíticas em
,
e
, então
é pólo simples e
No nosso caso
e
. Calculando:
logo
igual ao que já encontramos.
Passo 7
(se quiser ver por Laurent: uma verificação rápida) Tomando
pequeno,
, então
e
Expandindo a parte regular em série em
mostra que o coeficiente de
é
. É só uma confirmação extra.