Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
em
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede explicitamente o resíduo de
no ponto
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto onde se pede o resíduo é
. - Não há outras informações fornecidas.
Passo 2
O que é resíduo e como calcular em termos gerais (aula rápida e intuitiva).
- Definição prática: o resíduo de uma função meromorfa
em é o coeficiente do termo na expansão de Laurent de em torno de . - Fórmula útil para cálculo direto (caso de polo simples): se
tem um polo simples em , então
Explicação curta do porquê: para um polo simples a parte principal da expansão é
, logo multiplicar por
e limitar dá exatamente
.
Passo 3
Critério prático com frações de funções analíticas (fórmula do quociente).
- Se
com e analíticas perto de , , e , então é um polo simples e vale a fórmula
- Porque: escrever
e . Assim
e o coeficiente de
é
.
Passo 4
Aplicação direta à função dada usando a fórmula do quociente.
- Identificar
e : tomar e . - Verificar as condições no ponto
: -
. -
, logo . -
.
-
- Como
e , é polo simples e podemos usar a fórmula:
Passo 5
Verificação alternativa via expansão em séries (Laurent/Taylor), para fixar o conceito.
- Expansões em torno de
:
- Então
- Multiplicando os parênteses, o termo multiplicador que fica à frente de
tem valor quando . Logo o coeficiente de (o resíduo) é , confirmando o resultado anterior.