Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
f(z)=\frac{e^{z}}{\sin z} em z=0.

Passo 1

O enunciado fornece a função \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{\sin z} e pede explicitamente o resíduo de f no ponto z=0.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{\sin z}.
  • O ponto onde se pede o resíduo é z=0.
  • Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

O que é resíduo e como calcular em termos gerais (aula rápida e intuitiva).
  • Definição prática: o resíduo de uma função meromorfa f em z_0 é o coeficiente do termo (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent de f em torno de z_0.
  • Fórmula útil para cálculo direto (caso de polo simples): se f tem um polo simples em z_0, então
\operatorname{Res}_{z=z_0}f(z)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Explicação curta do porquê: para um polo simples a parte principal da expansão é a_{-1}/(z-z_0), logo multiplicar por (z-z_0) e limitar dá exatamente a_{-1}.

Passo 3

Critério prático com frações de funções analíticas (fórmula do quociente).
  • Se f(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)} com p e q analíticas perto de z_0, p(z_0)\neq 0, q(z_0)=0 e q'(z_0)\neq 0, então z_0 é um polo simples e vale a fórmula
\operatorname{Res}_{z=z_0}f(z)=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}.
  • Porque: escrever q(z)=(z-z_0)q'(z_0)+\text{o}(z-z_0) e p(z)=p(z_0)+\text{o}(1). Assim
f(z)=\frac{p(z_0)+\text{o}(1)}{(z-z_0)q'(z_0)+\text{o}(z-z_0)} \approx\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}\cdot\frac{1}{z-z_0},
e o coeficiente de (z-z_0)^{-1} é \dfrac{p(z_0)}{q'(z_0)}.

Passo 4

Aplicação direta à função dada usando a fórmula do quociente.
  • Identificar p e q: tomar p(z)=e^{z} e q(z)=\sin z.
  • Verificar as condições no ponto z_0=0:
    • q(0)=\sin 0=0.
    • q'(z)=\cos z, logo q'(0)=\cos 0=1\neq 0.
    • p(0)=e^{0}=1.
  • Como q(0)=0 e q'(0)\neq 0, z=0 é polo simples e podemos usar a fórmula:
\operatorname{Res}_{z=0}\frac{e^{z}}{\sin z}=\frac{p(0)}{q'(0)}=\frac{e^{0}}{\cos 0}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Verificação alternativa via expansão em séries (Laurent/Taylor), para fixar o conceito.
  • Expansões em torno de 0:
e^{z}=1+z+\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{3}}{6}+\cdots, \qquad \sin z=z-\frac{z^{3}}{6}+\cdots.
  • Então
\frac{e^{z}}{\sin z}=\frac{1+z+\dfrac{z^{2}}{2}+\dfrac{z^{3}}{6}+\cdots}{z\left(1-\dfrac{z^{2}}{6}+\cdots\right)} =\frac{1}{z}\left(1+z+\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{3}}{6}+\cdots\right)\left(1+\frac{z^{2}}{6}+\cdots\right).
  • Multiplicando os parênteses, o termo multiplicador que fica à frente de 1/z tem valor 1 quando z\to 0. Logo o coeficiente de 1/z (o resíduo) é 1, confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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