Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}.
  • Precisamos achar os pontos singulares isolados de f e, em cada um deles, calcular o resíduo.

Passo 2

Identificar os pontos singulares: singularidades ocorrem onde o denominador se anula, ou seja, onde \operatorname{sen}(z)=0. Sabemos que os zeros de \operatorname{sen}(z) são
z = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto os pontos singulares potenciais de f são \{n\pi : n\in\mathbb{Z}\}.

Passo 3

Verificar que são singulares isolados e qual a ordem: cada zero de \operatorname{sen}(z) em z=n\pi é simples, porque a derivada \cos(z) em z=n\pi satisfaz
\cos(n\pi)=(-1)^n\neq 0.
Como o zero de \operatorname{sen} é de ordem 1, a função f(z)=1/\operatorname{sen}(z) tem um polo simples em cada z=n\pi. Polos simples são singulares isolados.

Passo 4

Recordar a fórmula prática para resíduo em polo simples: se g é holomorfa e g(z_0)=0, g'(z_0)\neq0, então 1/g tem polo simples em z_0 e
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{g},z_0\right)=\frac{1}{g'(z_0)}.
Aqui podemos aplicar com g(z)=\operatorname{sen}(z), porque g'(z)=\cos(z).

Passo 5

Aplicar a fórmula ao nosso caso: para z_0=n\pi temos g'(z_0)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Logo
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{\operatorname{sen}(z)},z=n\pi\right)=\frac{1}{\cos(n\pi)}=\frac{1}{(-1)^n}=(-1)^n,
já que (-1)^n é seu próprio inverso.

Passo 6

Verificação por expansão em série (opcional, para entender melhor): perto de z_0=n\pi podemos escrever a expansão de \operatorname{sen}(z) por Taylor:
\operatorname{sen}(z)=\operatorname{sen}'(n\pi)\,(z-n\pi)+O((z-n\pi)^3),
isto é
\operatorname{sen}(z)=\cos(n\pi)\,(z-n\pi)+\cdots = (-1)^n (z-n\pi)+\cdots.
Então
\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}=\frac{1}{(-1)^n (z-n\pi)}+\text{termos regulares},
mostrando que o coeficiente de \frac{1}{z-n\pi} é (-1)^n, que coincide com o resultado anterior.

Passo 7

Exemplos concretos para ganhar confiança:
  • Para n=0 (polo em z=0), temos \operatorname{Res}(f,0)=(-1)^0=1.
  • Para n=1 (polo em z=\pi), temos \operatorname{Res}(f,\pi)=(-1)^1=-1.
    Isso bate com as fórmulas acima.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Res}\!\bigl(f,z=n\pi\bigr)=(-1)^n,\quad n\in\mathbb{Z}

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