Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos achar os pontos singulares isolados de
e, em cada um deles, calcular o resíduo.
Passo 2
Identificar os pontos singulares: singularidades ocorrem onde o denominador se anula, ou seja, onde
. Sabemos que os zeros de
são
Portanto os pontos singulares potenciais de
são
.
Passo 3
Verificar que são singulares isolados e qual a ordem: cada zero de
em
é simples, porque a derivada
em
satisfaz
Como o zero de
é de ordem
, a função
tem um polo simples em cada
. Polos simples são singulares isolados.
Passo 4
Recordar a fórmula prática para resíduo em polo simples: se
é holomorfa e
,
, então
tem polo simples em
e
Aqui podemos aplicar com
, porque
.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao nosso caso: para
temos
. Logo
já que
é seu próprio inverso.
Passo 6
Verificação por expansão em série (opcional, para entender melhor): perto de
podemos escrever a expansão de
por Taylor:
isto é
Então
mostrando que o coeficiente de
é
, que coincide com o resultado anterior.
Passo 7
Exemplos concretos para ganhar confiança:
- Para
(polo em ), temos . - Para
(polo em ), temos .
Isso bate com as fórmulas acima.