Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
Passo 1
O que o problema pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função
.
Informações dadas importantes: o numerador é e o denominador é
. Os pontos singulares isolados são os zeros do denominador, ou seja, as soluções de
. A tarefa é calcular, para cada uma dessas soluções
, o resíduo
.
Informações dadas importantes: o numerador é
Passo 2
Encontrar os pontos singulares: resolver
. As raízes quarta de
são os números complexos na forma
com
igual a
,
,
,
. Portanto os zeros são
Concluímos que esses quatro pontos são os singulares isolados de
.
Passo 3
Classificar a natureza das singularidades (ordem dos polos). Seja
. A derivada é
Um zero
de
é simples se
. Avaliando em cada raiz:
Como todas as derivadas são não nulas, cada singularidade é um polo simples (ordem
).
Passo 4
Fórmula e justificativa para o resíduo em polo simples. Se
e
tem um zero simples em
, então fatoramos
com
analítica e
. Então perto de
e o resíduo é
Portanto, para nossa função vale a fórmula simples
pois
.
Passo 5
Calcular os resíduos em cada raiz usando
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Última igualdade porque
, então
.)
- Para
:
(Usando
dá
.)