Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
f(z)=\frac{1}{z^{4}-1}

Passo 1

O que o problema pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função f(z)=\dfrac{1}{z^{4}-1}.
Informações dadas importantes: o numerador é 1 e o denominador é z^{4}-1. Os pontos singulares isolados são os zeros do denominador, ou seja, as soluções de z^{4}-1=0. A tarefa é calcular, para cada uma dessas soluções z_{0}, o resíduo \operatorname{Res}(f,z_{0}).

Passo 2

Encontrar os pontos singulares: resolver z^{4}=1. As raízes quarta de 1 são os números complexos na forma \mathrm{e}^{i\theta} com \theta igual a 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}. Portanto os zeros são
z=1,\quad z=i,\quad z=-1,\quad z=-i.
Concluímos que esses quatro pontos são os singulares isolados de f.

Passo 3

Classificar a natureza das singularidades (ordem dos polos). Seja g(z)=z^{4}-1. A derivada é
g'(z)=4z^{3}.
Um zero z_{0} de g é simples se g'(z_{0})\neq0. Avaliando em cada raiz:
g'(1)=4\cdot 1^{3}=4\neq0,\qquad g'(-1)=4\cdot(-1)^{3}=-4\neq0,
g'(i)=4\cdot i^{3}=4(-i)=-4i\neq0,\qquad g'(-i)=4\cdot(-i)^{3}=4i\neq0.
Como todas as derivadas são não nulas, cada singularidade é um polo simples (ordem 1).

Passo 4

Fórmula e justificativa para o resíduo em polo simples. Se f(z)=\dfrac{1}{g(z)} e g tem um zero simples em z_{0}, então fatoramos g(z)=(z-z_{0})h(z) com h analítica e h(z_{0})=g'(z_{0}). Então perto de z_{0}
f(z)=\frac{1}{(z-z_{0})h(z)}
e o resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=\frac{1}{h(z_{0})}=\frac{1}{g'(z_{0})}.
Portanto, para nossa função vale a fórmula simples
\operatorname{Res}\!\bigl(f,z_{0}\bigr)=\frac{1}{4z_{0}^{3}},
pois g'(z_{0})=4z_{0}^{3}.

Passo 5

Calcular os resíduos em cada raiz usando \operatorname{Res}(f,z_{0})=\dfrac{1}{4z_{0}^{3}}.
  1. Para z_{0}=1:
z_{0}^{3}=1^{3}=1\quad\Rightarrow\quad \operatorname{Res}(f,1)=\frac{1}{4\cdot 1}=\frac{1}{4}.
  1. Para z_{0}=-1:
z_{0}^{3}=(-1)^{3}=-1\quad\Rightarrow\quad \operatorname{Res}(f,-1)=\frac{1}{4\cdot(-1)}=-\frac{1}{4}.
  1. Para z_{0}=i:
i^{2}=-1,\quad i^{3}=i^{2}\cdot i=-1\cdot i=-i,
\operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{4\cdot i^{3}}=\frac{1}{4\cdot(-i)}=\frac{1}{-4i}=\frac{i}{4}.
(Última igualdade porque \dfrac{1}{i}=-i, então \dfrac{1}{-4i}= -\dfrac{1}{4i} = -(-\tfrac{i}{4})=\tfrac{i}{4}.)
  1. Para z_{0}=-i:
(-i)^{2}=-1,\quad (-i)^{3}=(-i)^{2}\cdot(-i)=-1\cdot(-i)=i,
\operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{4\cdot (-i)^{3}}=\frac{1}{4\cdot i}=\frac{1}{4i}=-\frac{i}{4}.
(Usando \dfrac{1}{i}=-i \dfrac{1}{4i}=-\dfrac{i}{4}.)

Resposta

\operatorname{Res}(f,1)=\dfrac{1}{4}
\operatorname{Res}(f,-1)=-\dfrac{1}{4}
\operatorname{Res}(f,i)=\dfrac{i}{4}
\operatorname{Res}(f,-i)=-\dfrac{i}{4}

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