Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função
.
Informações dadas e perguntas claras:
- A função é
. - Devemos encontrar os resíduos de
nos seus pontos singulares isolados (ou seja, os pontos onde tem polos isolados) — não foi pedido mais nada.
Passo 2
Identificar os pontos singulares isolados de
.
- Zeros do denominador: resolver
dá . - Logo os pontos singulares isolados são
e .
Passo 3
Determinar a ordem dos polos em
.
- Como o denominador é
, em o fator aparece no denominador sem cancelamento no numerador. Portanto é polo de ordem (polo duplo). - Analogamente,
é também polo de ordem .
Passo 4
Apresentar a fórmula prática para o resíduo em um polo de ordem
e explicar por que ela funciona (aula curta).
- Se
é um polo de ordem de , então o resíduo é dado por
- Para um polo de ordem
(ou seja, ) essa fórmula vira
- Intuição simples: multiplicamos
por para eliminar o pólo duplo e obter uma função com singularidade menos forte; então a derivada dá exatamente o coeficiente do termo na expansão de Laurent — que é o resíduo.
Passo 5
Calcular o resíduo em
passo a passo.
- Primeiro construo a função cuja derivada vou avaliar:
- Usando
, simplifico:
- Agora aplico a fórmula para polo duplo:
- Calculo a derivada explicitamente. Uso a regra da potência:
. Então
- Avalio no ponto
:
Passo 6
Calcular o resíduo em
passo a passo (mesma ideia).
- Defino
- Simplificando com
, obtenho
- Aplico a fórmula do polo duplo:
- Calculo a derivada:
. Assim
- Avalio em
: