Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
f(z)=\frac{1}{\left(z^{2}-1\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função \displaystyle f(z)=\frac{1}{\left(z^{2}-1\right)^{2}}.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{1}{\left(z^{2}-1\right)^{2}}.
  • Devemos encontrar os resíduos de f nos seus pontos singulares isolados (ou seja, os pontos z_0 onde f tem polos isolados) — não foi pedido mais nada.

Passo 2

Identificar os pontos singulares isolados de \displaystyle f(z)=\frac{1}{(z^2-1)^2}.
  • Zeros do denominador: resolver z^2-1=0 z=\pm 1.
  • Logo os pontos singulares isolados são \displaystyle z=1 e \displaystyle z=-1.

Passo 3

Determinar a ordem dos polos em \displaystyle z=\pm 1.
  • Como o denominador é (z^2-1)^2=((z-1)(z+1))^2, em z=1 o fator (z-1)^2 aparece no denominador sem cancelamento no numerador. Portanto z=1 é polo de ordem 2 (polo duplo).
  • Analogamente, z=-1 é também polo de ordem 2.

Passo 4

Apresentar a fórmula prática para o resíduo em um polo de ordem 2 e explicar por que ela funciona (aula curta).
  • Se z_0 é um polo de ordem m de f, então o resíduo é dado por
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-z_0)^m f(z)\Big].
  • Para um polo de ordem 2 (ou seja, m=2) essa fórmula vira
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\Big[(z-z_0)^2 f(z)\Big].
  • Intuição simples: multiplicamos f por (z-z_0)^2 para eliminar o pólo duplo e obter uma função com singularidade menos forte; então a derivada dá exatamente o coeficiente do termo (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent — que é o resíduo.

Passo 5

Calcular o resíduo em \displaystyle z=1 passo a passo.
  • Primeiro construo a função cuja derivada vou avaliar:
\Phi_1(z):=(z-1)^2 f(z)=(z-1)^2\cdot\frac{1}{(z^2-1)^2}.
  • Usando (z^2-1)^2=((z-1)^2(z+1)^2), simplifico:
\Phi_1(z)=\frac{(z-1)^2}{(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{1}{(z+1)^2}.
  • Agora aplico a fórmula para polo duplo:
\operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\Phi_1(z)=\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{(z+1)^2}\right).
  • Calculo a derivada explicitamente. Uso a regra da potência: \frac{d}{dz}(z+1)^{-2}=-2(z+1)^{-3}. Então
\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{(z+1)^2}\right)=-\frac{2}{(z+1)^3}.
  • Avalio no ponto z=1:
\operatorname{Res}(f,1)=-\frac{2}{(1+1)^3}=-\frac{2}{2^3}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Calcular o resíduo em \displaystyle z=-1 passo a passo (mesma ideia).
  • Defino
\Phi_{-1}(z):=(z+1)^2 f(z)=(z+1)^2\cdot\frac{1}{(z^2-1)^2}.
  • Simplificando com (z^2-1)^2=(z-1)^2(z+1)^2, obtenho
\Phi_{-1}(z)=\frac{(z+1)^2}{(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{1}{(z-1)^2}.
  • Aplico a fórmula do polo duplo:
\operatorname{Res}(f,-1)=\lim_{z\to -1}\frac{d}{dz}\Phi_{-1}(z)=\lim_{z\to -1}\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{(z-1)^2}\right).
  • Calculo a derivada: \frac{d}{dz}(z-1)^{-2}=-2(z-1)^{-3}. Assim
\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{(z-1)^2}\right)=-\frac{2}{(z-1)^3}.
  • Avalio em z=-1:
\operatorname{Res}(f,-1)=-\frac{2}{(-1-1)^3}=-\frac{2}{(-2)^3}=-\frac{2}{-8}=\frac{1}{4}.

Resposta

\operatorname{Res}(f,1)=-\tfrac{1}{4}
\operatorname{Res}(f,-1)=\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados