Determine (sem resolver o PVI) um intervalo no qual a solução existe.
(t-3) y^{\prime}+(\ln t) y=2 t, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
(t-3)\,y'(t)+(\ln t)\,y(t)=2t,\qquad y(1)=2.
A pergunta é: determinar um intervalo no qual a solução existe (sem resolver o PVI). Ou seja, preciso encontrar um intervalo com o ponto inicial t=1 onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade para equações lineares de 1ª ordem são satisfeitas.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem: dividir tudo por (t-3) (só é permitido onde t\neq3):
y'(t)+\underbrace{\frac{\ln t}{t-3}}_{p(t)}\,y(t)=\underbrace{\frac{2t}{t-3}}_{q(t)}.
Aqui p(t)=\dfrac{\ln t}{t-3} e q(t)=\dfrac{2t}{t-3}. Para aplicar o teorema de existência e unicidade (ou, mais diretamente, o resultado padrão para equações lineares), precisamos que p(t) e q(t) sejam contínuas num intervalo aberto que contenha o ponto inicial t=1.

Passo 3

Identificar onde p e q são descontínuas:
  • A função \ln t está definida e contínua apenas para t>0. Logo já temos a condição t>0.
  • As expressões \dfrac{\ln t}{t-3} e \dfrac{2t}{t-3} têm divisão por zero em t=3, ou seja, são interrompidas em t=3.
Portanto as possíveis regiões onde p e q são contínuas são os intervalos
(0,3)\quad\text{e}\quad(3,\infty).

Passo 4

Verificar qual desses intervalos contém o ponto inicial t=1. Como 1\in(0,3) e 1\notin(3,\infty), o intervalo relevante que contém o ponto inicial é (0,3). Em (0,3) as funções p(t) e q(t) são contínuas, portanto pelo teorema de existência e unicidade existe uma solução única do PVI definida em algum intervalo aberto contendo t=1; como p e q são de fato contínuas em todo o intervalo maximal (0,3), a solução existe e é única em todo (0,3).

Passo 5

Comentário prático (para a prova): basta mostrar que ao escrever a equação na forma y'+p(t)y=q(t) aparecem descontinuidades em t=0 (pela \ln t) e em t=3 (pela divisão), e como a condição inicial é em t=1, o maior intervalo aberto contendo 1 onde os coeficientes são contínuos é (0,3). Em qualquer subintervalo aberto de (0,3) também haverá existência e unicidade; frequentemente, na prova, pedirão exatamente o maior intervalo maximal, que é (0,3).

Resposta

(0,3)

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